批量归一化 BN(Batch Normalization) (减少重复学习 - 加速损失收敛) + 代码实现 —

0. 前言

1. 训练深层网络

1.1 批量归一化的表达式

1.2 训练模式&预测模式

2. 批量规范化层

2.1 全连接层

2.2 卷积层

2.2.1 预测模式中的BN

3. 从零实现 (pytorch)

3.1 使用BN层的 LeNet

4. 简明实现 (调包)

5. 争议（可解释性问题）

6. 小结

0. 前言

课程全部代码（pytorch版）已上传到附件
本章节为原书第7章(现代卷积)，共分为7节，本篇是第5节：批量规范化
本节的代码位置为：chapter_convolutional-modern/batch-norm.ipynb
本节的视频链接：28 批量归一化【动手学深度学习v2】_哔哩哔哩_bilibili

训练深层神经网络是十分困难的，特别是在较短的时间内使他们收敛更加棘手。本节将介绍批量规范化（batch normalization） :cite:Ioffe.Szegedy.2015，这是一种流行且有效的技术，可持续加速深层网络的收敛速度。再结合在 :numref:sec_resnet中将介绍的残差块，批量规范化使得研究人员能够训练100层以上的网络。

1. 训练深层网络

为什么需要批量规范化层呢？让我们来回顾一下训练神经网络时出现的一些实际挑战。

首先，数据预处理的方式通常会对最终结果产生巨大影响。回想一下我们应用多层感知机来预测房价的例子（ :numref:sec_kaggle_house）。使用真实数据时，我们的第一步是标准化输入特征，使其平均值为0，方差为1。直观地说，这种标准化可以很好地与我们的优化器配合使用，因为它可以将参数的量级进行统一。

第二，对于典型的多层感知机或卷积神经网络。当我们训练时，中间层中的变量（例如，多层感知机中的仿射变换输出）可能具有更广的变化范围：不论是沿着从输入到输出的层，跨同一层中的单元，或是随着时间的推移，模型参数的随着训练更新变幻莫测。批量规范化的发明者非正式地假设，这些变量分布中的这种偏移可能会阻碍网络的收敛。直观地说，我们可能会猜想，如果一个层的可变值是另一层的100倍，这可能需要对学习率进行补偿调整。

第三，更深层的网络很复杂，容易过拟合。这意味着正则化变得更加重要。

批量规范化应用于单个可选层（也可以应用到所有层），其原理如下：在每次训练迭代中，我们首先规范化输入，即通过减去其均值并除以其标准差，其中两者均基于当前小批量处理。接下来，我们应用比例系数和比例偏移。正是由于这个基于批量统计的标准化，才有了批量规范化的名称。

请注意，如果我们尝试使用大小为1的小批量应用批量规范化，我们将无法学到任何东西。这是因为在减去均值之后，每个隐藏单元将为0。所以，只有使用足够大的小批量，批量规范化这种方法才是有效且稳定的。请注意，在应用批量规范化时，批量大小的选择可能比没有批量规范化时更重要。

底层学习的是一些底层的特征，底层的参数数字上会比较小，学习得比较慢
顶层的参数数字一般会比较大（因为乘积和求和），学得比较快
这一快一慢就导致底层每学一点，顶层需要重新学，顶层重复学习导致损失收敛很慢
这在学界被称为内部协变量转移问题

批量归一化，可以理解为：保证层间输出(即隐藏表示)和(更新可学习参数的)梯度时符合某一特定分布，以减少重复学习，加快学习速度

1.1 批量归一化的表达式

B是每个小批量的下标索引；
xi是对应下标批量的输出，是一个向量；
μ和 $\sigma$ 是该小批量的输出的均值和方差；
$\gamma$ 和β是可学习的参数，因为0-1分布不一定是最好的

事实证明，这是深度学习中一个反复出现的主题。由于尚未在理论上明确的原因，优化中的各种噪声源通常会导致更快的训练和较少的过拟合：这种变化似乎是正则化的一种形式。在一些初步研究中， :cite:Teye.Azizpour.Smith.2018和 :cite:Luo.Wang.Shao.ea.2018分别将批量规范化的性质与贝叶斯先验相关联。这些理论揭示了为什么批量规范化最适应50∼100范围中的中等批量大小的难题。

1.2 训练模式&预测模式

另外，批量规范化层在”训练模式“（通过小批量统计数据规范化）和“预测模式”（通过数据集统计规范化）中的功能不同。在训练过程中，我们无法得知使用整个数据集来估计平均值和方差，所以只能根据每个小批次的平均值和方差不断训练模型。而在预测模式下，可以根据整个数据集精确计算批量规范化所需的平均值和方差。

现在，我们了解一下批量规范化在实践中是如何工作的。

2. 批量规范化层

批量归一化是线性变换，作用在输出上时，还需要激活函数
把均值和方差拉到比较好的位置，不让输出的变化那么剧烈
对于全连接，每一行是样本，每一列是特征
对于全连接层，批量归一化是对每一列计算出一个标量的均值和方差
对于卷积层，输入往往是批量数×通道数×高×宽
通道数可几何上理解为厚度，回忆1×1卷积(很重要, 需要复习)，是一个滑动的像素大小的小窗口，融合通道特征
每个像素的厚度 (通道数) 就是1×1卷积输入的特征数
1×1卷积，也因此可以理解为是一个全连接，输入就是特征数（通道数）

回想一下，批量规范化和其他层之间的一个关键区别是，由于批量规范化在完整的小批量上运行，因此我们不能像以前在引入其他层时那样忽略批量大小。我们在下面讨论这两种情况：全连接层和卷积层，他们的批量规范化实现略有不同。

2.1 全连接层

通常，我们将批量规范化层置于全连接层中的仿射变换和激活函数之间。设全连接层的输入为x，权重参数和偏置参数分别为𝐖𝑊和𝐛𝑏，激活函数为𝜙𝜙，批量规范化的运算符为BNBN。那么，使用批量规范化的全连接层的输出的计算详情如下：

𝐡=𝜙(BN(𝐖𝐱+𝐛)).

回想一下，均值和方差是在应用变换的"相同"小批量上计算的。

2.2 卷积层

同样，对于卷积层，我们可以在卷积层之后和非线性激活函数之前应用批量规范化。当卷积有多个输出通道时，我们需要对这些通道的“每个”输出执行批量规范化，每个通道都有自己的拉伸（scale）和偏移（shift）参数，这两个参数都是标量。假设我们的小批量包含𝑚个样本，并且对于每个通道，卷积的输出具有高度𝑝和宽度𝑞。那么对于卷积层，我们在每个输出通道的𝑚⋅𝑝⋅𝑞个元素上同时执行每个批量规范化。因此，在计算平均值和方差时，我们会收集所有空间位置的值，然后在给定通道内应用相同的均值和方差，以便在每个空间位置对值进行规范化。

2.2.1 预测模式中的BN

正如我们前面提到的，批量规范化在训练模式和预测模式下的行为通常不同。首先，将训练好的模型用于预测时，我们不再需要样本均值中的噪声以及在微批次上估计每个小批次产生的样本方差了。其次，例如，我们可能需要使用我们的模型对逐个样本进行预测。一种常用的方法是通过移动平均估算整个训练数据集的样本均值和方差，并在预测时使用它们得到确定的输出。可见，和暂退法一样，批量规范化层在训练模式和预测模式下的计算结果也是不一样的。

3. 从零实现 (pytorch)

下面，我们从头开始实现一个具有张量的批量规范化层。

In [1]:

python">import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2ldef batch_norm(X, gamma, beta, moving_mean, moving_var, eps, momentum):  # 输入X; eps通常有值,不用去改它# 两个可学习的参数：gamma拉伸, beta偏移，训练时用；# moving_mean&var:全局均值&方差，做推理的时候用;训练和推理时BN的过程不一样;momentum用来更新全局均值&方差# 通过is_grad_enabled来判断当前模式是训练模式还是预测模式if not torch.is_grad_enabled():  # 推理(预测)时，不用更新梯度# 如果是在预测模式下，BN(batch_norm)直接使用传入的移动平均所得的均值和方差X_hat = (X - moving_mean) / torch.sqrt(moving_var + eps)  # 直接拿全局数据的均值和方差，套BN公式# 因为推理(inference)、预测(prediction)的时候，往往没有批量(batch)else:  # 接下来是训练模式assert len(X.shape) in (2, 4)  # 这里就不考虑其它情况啦，比如5可能是3D卷积# 2 代表全连接层 (batch_size, feature) ，4 代表2D卷积层 (batch_size, channels, height, width)if len(X.shape) == 2:# 使用全连接层的情况，计算特征维上的均值和方差mean = X.mean(dim=0)  # 对 X 沿着 dim=0(最为层样本维)对列(把每行)求和,求和后列(特征)数不变# dim=a, 输出会让第a维消失（拍扁到内层的维度）var = ((X - mean) ** 2).mean(dim=0)  # 这里的X在训练中，是小批量(batch)else:  # 2D卷积的情况# 使用二维卷积层的情况，计算通道维上（axis=1）的均值和方差。# 这里我们需要保持X的形状以便后面可以做广播运算mean = X.mean(dim=(0, 2, 3), keepdim=True)  # 0batch,1通道,2&3是高和宽；keepdim=True意味着输出var = ((X - mean) ** 2).mean(dim=(0, 2, 3), keepdim=True)  # 输出的形状是1×n×1×1# dim=(0, 2, 3)求均值是按顺序来的,先拍扁batch,留着通道数作为最外层,在把2(行)拍扁,最后压扁3(列)# mean就是求和后，除以所求和元素的个数(=批量×高×宽)# 训练模式下，用当前的均值和方差做标准化X_hat = (X - mean) / torch.sqrt(var + eps)  # (X - mean)用到了广播机制（需要花时间搞懂，很重要）# meanmean广播后，会减去X中对应通道的均值；除以的是标准差，X_hat就是X中每个数据偏移均值几个标准差# 更新移动平均的均值和方差  # 卡尔曼滤波思想体现在移动moving_mean&_var随着小批量不断的更新过程中# 通过结合当前的观测值和上一时刻的估计值，逐步更新估计值，以提高模型的性能和稳定性 moving_mean = momentum * moving_mean + (1.0 - momentum) * mean  #  momentum一般是0.9moving_var = momentum * moving_var + (1.0 - momentum) * varY = gamma * X_hat + beta  # 缩放和移位return Y, moving_mean.data, moving_var.data  # moving_mean和_var不断存下来,最后做推理的时候用

我们现在可以[创建一个正确的BatchNorm层]。这个层将保持适当的参数：拉伸gamma和偏移beta,这两个参数将在训练过程中更新。此外，我们的层将保存均值和方差的移动平均值，以便在模型预测期间随后使用。

撇开算法细节，注意我们实现层的基础设计模式。通常情况下，我们用一个单独的函数定义其数学原理，比如说batch_norm。然后，我们将此功能集成到一个自定义层中，其代码主要处理数据移动到训练设备（如GPU）、分配和初始化任何必需的变量、跟踪移动平均线（此处为均值和方差）等问题。为了方便起见，我们并不担心在这里自动推断输入形状，因此我们需要指定整个特征的数量。不用担心，深度学习框架中的批量规范化API将为我们解决上述问题，我们稍后将展示这一点。

In [2]:

python">class BatchNorm(nn.Module):# num_features：完全连接层的输出数量或卷积层的输出通道数。# num_dims：2表示完全连接层，4表示卷积层def __init__(self, num_features, num_dims):  # num_dims咱这里是2(全连接)或4(2D卷积)super().__init__()  # num_features在2D卷积里就是通道数if num_dims == 2:shape = (1, num_features)  # 后面的gamma, beta, moving_mean和_var都得是这个形状else:shape = (1, num_features, 1, 1)# 参与求梯度和迭代的拉伸和偏移参数，分别初始化成1和0self.gamma = nn.Parameter(torch.ones(shape))  # gamma映标准差(位移量),如果是0乘完还是0,就学不动啦self.beta = nn.Parameter(torch.zeros(shape))  # beta映射均值# 非模型参数的变量初始化为0和1, 因此不需要nn.Parameterself.moving_mean = torch.zeros(shape)self.moving_var = torch.ones(shape)def forward(self, X):  # 因为moving_mean和_var没有放在nn.Parameter里，因此需要自己算device# 如果X不在内存上，将moving_mean和moving_var# 复制到X所在显存上if self.moving_mean.device != X.device:self.moving_mean = self.moving_mean.to(X.device)self.moving_var = self.moving_var.to(X.device)# 保存更新过的moving_mean和moving_varY, self.moving_mean, self.moving_var = batch_norm(  # 是时候调用上面定义的batch_norm()函数X, self.gamma, self.beta, self.moving_mean,self.moving_var, eps=1e-5, momentum=0.9)  # 换框架的时候得注意eps，每个框架的eps不一样return Y

3.1 使用BN层的 LeNet

为了更好理解如何[应用BatchNorm]，下面我们将其应用(于LeNet模型)（ :numref:sec_lenet）。回想一下，批量规范化是在卷积层或全连接层之后、相应的激活函数之前应用的。

In [3]:

python">net = nn.Sequential(nn.Conv2d(1, 6, kernel_size=5), BatchNorm(6, num_dims=4), nn.Sigmoid(),nn.AvgPool2d(kernel_size=2, stride=2),  # BatchNorm(6, num_dims=4), 6就是通道数, 4指的是2D卷积的维度nn.Conv2d(6, 16, kernel_size=5), BatchNorm(16, num_dims=4), nn.Sigmoid(),nn.AvgPool2d(kernel_size=2, stride=2), nn.Flatten(),nn.Linear(16*4*4, 120), BatchNorm(120, num_dims=2), nn.Sigmoid(),  # 120就是特征数, 2指的是全连接的维度nn.Linear(120, 84), BatchNorm(84, num_dims=2), nn.Sigmoid(),nn.Linear(84, 10))

和以前一样，我们将[在Fashion-MNIST数据集上训练网络]。这个代码与我们第一次训练LeNet（ :numref:sec_lenet）时几乎完全相同，主要区别在于学习率大得多。

In [4]:

python">lr, num_epochs, batch_size = 1.0, 10, 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)
d2l.train_ch6(net, train_iter, test_iter, num_epochs, lr, d2l.try_gpu())  # 加入BN,看结果,收敛更快啦

loss 0.265, train acc 0.902, test acc 0.852
27684.1 examples/sec on cuda:0

让我们来看看从第一个批量规范化层中学到的[拉伸参数gamma和偏移参数beta]。

In [5]:

python">net[1].gamma.reshape((-1,)), net[1].beta.reshape((-1,))
# [1]索引net中第2个层,就是第1个BN,,看看它学到的参数：有6个通道; 特别深的时候,可以拿第1个BN和最后一个BN出来对比

Out[5]:

(tensor([2.5200, 3.2085, 3.9542, 0.6868, 3.4574, 2.9797], device='cuda:0',grad_fn=<ReshapeAliasBackward0>),tensor([-0.4091,  1.0619,  2.5161, -0.9488, -3.4595, -2.3575], device='cuda:0',grad_fn=<ReshapeAliasBackward0>))

4. 简明实现 (调包)

除了使用我们刚刚定义的BatchNorm，我们也可以直接使用深度学习框架中定义的BatchNorm。该代码看起来几乎与我们上面的代码相同。

In [6]:

python">net = nn.Sequential(  # 直接调包: nn.BatchNorm2d(6);nn.BatchNorm1d(120); 少了维度参数,框架内部会帮设好nn.Conv2d(1, 6, kernel_size=5), nn.BatchNorm2d(6), nn.Sigmoid(),nn.AvgPool2d(kernel_size=2, stride=2),nn.Conv2d(6, 16, kernel_size=5), nn.BatchNorm2d(16), nn.Sigmoid(),nn.AvgPool2d(kernel_size=2, stride=2), nn.Flatten(),nn.Linear(256, 120), nn.BatchNorm1d(120), nn.Sigmoid(),nn.Linear(120, 84), nn.BatchNorm1d(84), nn.Sigmoid(),nn.Linear(84, 10))

下面，我们[使用相同超参数来训练模型]。请注意，通常高级API变体运行速度快得多，因为它的代码已编译为C++或CUDA，而我们的自定义代码由Python实现。

In [7]:

python">d2l.train_ch6(net, train_iter, test_iter, num_epochs, lr, d2l.try_gpu())

loss 0.280, train acc 0.897, test acc 0.862
45778.8 examples/sec on cuda:0

5. 争议（可解释性问题）

最初的论文：实验结果好，作者推测能减少内部协变量转移 (作者只是推测，没有细看)
内部协变量转移: 深度神经网络的训练过程中，随着每一层参数的更新，各层输入数据的分布会不断发生变化
例如，在训练初期，某一层的输入可能服从特定的分布，但随着前面层参数的不断调整，该层的输入分布逐渐发生改变，使得后续的训练变得不稳定
内部协变量转移是深度学习领域的重要问题
后续论文：因为批量归一化太work了，大量学者跟进，仔细研究发现：
$\sigma _{B}$ 是随机小批量的方差，是随机的缩放，均值也类似
批量归一化就是在每个小批量里加入了噪音
$\gamma$ 和β是不断更新的参数，因此整体(参数学习过程)变化比较平缓，取决于学习率
这些论文的解释都不一定对，深度学习的工程，远远走在了理论的前面

直观地说，批量规范化被认为可以使优化更加平滑。然而，我们必须小心区分直觉和对我们观察到的现象的真实解释。回想一下，我们甚至不知道简单的神经网络（多层感知机和传统的卷积神经网络）为什么如此有效。即使在暂退法和权重衰减的情况下，它们仍然非常灵活，因此无法通过常规的学习理论泛化保证来解释它们是否能够泛化到看不见的数据。

在提出批量规范化的论文中，作者除了介绍了其应用，还解释了其原理：通过减少内部协变量偏移（internal covariate shift）。 据推测，作者所说的内部协变量转移类似于上述的投机直觉，即变量值的分布在训练过程中会发生变化。然而，这种解释有两个问题： 1、这种偏移与严格定义的协变量偏移（covariate shift）非常不同，所以这个名字用词不当； 2、这种解释只提供了一种不明确的直觉，但留下了一个有待后续挖掘的问题：为什么这项技术如此有效？本书旨在传达实践者用来发展深层神经网络的直觉。然而，重要的是将这些指导性直觉与既定的科学事实区分开来。最终，当你掌握了这些方法，并开始撰写自己的研究论文时，你会希望清楚地区分技术和直觉。

随着批量规范化的普及，内部协变量偏移的解释反复出现在技术文献的辩论，特别是关于“如何展示机器学习研究”的更广泛的讨论中。 Ali Rahimi在接受2017年NeurIPS大会的“接受时间考验奖”（Test of Time Award）时发表了一篇令人难忘的演讲。他将“内部协变量转移”作为焦点，将现代深度学习的实践比作炼金术。他对该示例进行了详细回顾 :cite:Lipton.Steinhardt.2018，概述了机器学习中令人不安的趋势。此外，一些作者对批量规范化的成功提出了另一种解释：在某些方面，批量规范化的表现出与原始论文 :cite:Santurkar.Tsipras.Ilyas.ea.2018中声称的行为是相反的。

然而，与机器学习文献中成千上万类似模糊的说法相比，内部协变量偏移没有更值得批评。很可能，它作为这些辩论的焦点而产生共鸣，要归功于目标受众对它的广泛认可。批量规范化已经被证明是一种不可或缺的方法。它适用于几乎所有图像分类器，并在学术界获得了数万引用。

6. 小结

批量归一化固定小批量中的均值和方差，然后学习出适合的偏移和缩放；
可以加速收敛速度（比如以前学习率是0.01，现在用了批量归一化后，可以调到0.1）
不会出现之前：学习率太大的话，上面 (靠近损失的梯度) 会炸掉；
不会出现之前：学习率太小的话，下面 (靠近数据的模型参数) 会学不动；
每一个层的输出都通过均值方差放在一起了，上下层的分布都差不多是正态分布；
但一般不改变模型精度