目录

一、概述

主要特点

二、2D、3D几何问题

1、二维几何问题

2、三维几何问题

2、2D、3D 三角剖分

1、二维三角剖分

2、三维三角剖分

3、2D、3D网格处理

1、网格处理

2、基本操作

1. 添加/删除顶点

2. 移动顶点

3. 网格细分与简化

4. 网格平滑

5. 网格修复

6. 网格变形

7. 布尔运算

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一、概述

CGAL（Computational Geometry Algorithms Library）是一个开源的 C++ 库，专注于计算几何和相关算法的实现。它提供了高效、可靠的算法和数据结构，用于解决各种几何问题，广泛应用于计算机图形学、CAD（计算机辅助设计）、机器人学、地理信息系统（GIS）等领域。

主要特点

1. 丰富的几何算法：

   • 提供多种基础和高级几何算法，包括点集处理、三角剖分、网格生成、布尔运算等。

2. 多种几何数据结构：

   • 包括点、线、面、曲线、多面体等，能够有效存储和管理几何对象。

3. 高效性与准确性：

   • CGAL 通过使用多种数值精度策略（如精确数值计算），确保了几何运算的高效性和准确性。

4. 模块化设计：

   • CGAL 的功能模块化，用户可以根据需要选择特定模块，减少不必要的依赖。

5. 开源与社区支持：

   • CGAL 是一个开源项目，有活跃的开发者社区，提供文档、示例和技术支持。

二、2D、3D几何问题

1、二维几何问题

    1. 点集操作

• 计算点集的凸包。
• 进行 Delaunay 三角剖分和 Voronoi 图构建。

1. 多边形处理

• 多边形的布尔运算（并、交、差）。
• 面积计算、边界检测和点在多边形内的测试。

1. 距离计算，计算点到线段、线、曲线的距离。
2. 路径规划，计算最短路径和可行路径。

2、三维几何问题

1. 多面体处理，生成和操作三维多面体，包括布尔运算和表面重建。
2. 网格生成，创建三维网格（如 Delaunay 网格化）和网格细分。
3. 碰撞检测，检测几何体之间的碰撞和相交情况。
4. 曲面处理，处理和建模曲面，支持光滑和分段曲面。
5. 体积计算，计算三维物体的体积和表面积。

2、2D、3D 三角剖分

CGAL 提供强大的三角剖分功能，支持二维和三维的三角剖分，常用于计算几何、图形处理和数值模拟等领域。

1、二维三角剖分

• Delaunay Triangulation：生成一种具有良好性质的三角剖分，最大化最小角度，避免细长三角形。适用于点集的有效剖分。

  • 类：CGAL::Delaunay_triangulation_2。
  • 功能：支持查询邻接三角形、插入和删除点、计算点到边的距离等。

• constrained triangulation：允许在剖分过程中约束某些边，适用于需要保持特定边界的场景。

  • 类：CGAL::Constrained_Delaunay_triangulation_2。

2、三维三角剖分

• Delaunay Triangulation：三维 Delaunay 三角剖分确保了每个三角形的外接球不包含其他点。

  • 类：CGAL::Delaunay_triangulation_3。
  • 功能：支持高效插入、查询和重建，适合三维点集。

• Constrained Triangulation：与二维类似，支持在三维空间中约束边。

  • 类：CGAL::Constrained_triangulation_3。

三角剖分主要应用于地形建模、计算流体动力学、为路径导航提供基础等。

3、2D、3D网格处理

1、网格处理

• 布尔运算：进行布尔运算，如合并、交集和差集，以处理复杂几何体。
• 网格优化：平滑、细化和重构网格，以提高质量。

2、基本操作

1. 添加/删除顶点

• 添加顶点：在网格中插入新顶点，通常需要更新邻接信息。
• 删除顶点：移除网格中的顶点，同时需要处理与之相连的边和面。

2. 移动顶点

• 平移：可以将顶点在三维空间中移动，通常用于调整形状。
• 变形：通过非线性方式调整顶点位置，可以实现复杂的形状变化。

3. 网格细分与简化

• 细分：通过插入新顶点和重新连接边来增加网格的细节。
• 简化：减少网格中的顶点和面，保持几何形状的近似，常用于优化性能。

4. 网格平滑

• 平滑处理：减少网格中的尖锐特征，使表面更光滑，可以通过 Laplacian 平滑等方法实现。

5. 网格修复

• 处理漏洞：识别和填补网格中的漏洞，确保网格是封闭的。
• 去除重复顶点：合并坐标相同的顶点，减少冗余数据。

6. 网格变形

• 变形技术：如自由形状变形（FFD）、骨骼动画等，用于动画和交互式设计。
• 约束变形：保持某些顶点位置不变，在其他顶点之间进行变形。

7. 布尔运算

• 布尔操作：执行物体间的合并、交集和差集操作，生成新的复杂形状。

4、几何优化

几何优化算法，比如最小凸包、最小旋转包、最长空间线段等集合算法。

5、多边形与非封闭曲线处理

支持多边形布尔运算，多边形修复、多边形拟和、轮廓计算等。以及非封闭曲线操作与处理。

6、曲面重建

提供多个用于曲面重建的算法，比如点云重建、隐函数重建、流形重建等。

7、拓扑关系与空间搜索

支持几何对象间拓扑关系相交、包含、交点等运算。以及常见空间搜索数据结构与算法。比如kd-tree、R tree。

三、总结

CGAL 主要应用于：

• 计算机图形学：用于三维建模、动画和渲染。
• CAD：用于设计和制造领域的几何建模。
• 机器人学：应用于路径规划和运动控制。
• GIS：处理地理数据和空间分析。

后续文章篇幅也会根据模块一点点完善，展开。