浮点数二进制制科学计数法理解

Owed by: 春夜喜雨 http://blog.csdn.net/chunyexiyu

1. 引言

对于浮点数，主要是单精度-float、双精度-double两种类型。

对于浮点类型，我们知道其采用科学计数法，准确来说应该是二进制科学计数法。
为什么准确说是是二进制科学计数法，而不是称为科学计数法？

2. 数学书中的科学计数法

我们已知，在数学书上学习到科学计数法，也即10进制时的科学计数法。

科学计数法的特点是：±[1-9].[0-9]… * 10ⁿ
小数点前的数字是需要大于0，并且小于指数的底数10，范围是0<abs(x)<10，取值的话就是±[1-9]。

表达123.456，科学计数法的表达是唯一的：
1.23456 * 10²

注意不能是0.123456 * 10³，因为科学计数法要求是小数点前有值的，且是[1-9]。

再比如，表达这个值0.00123的时候，科学计数法表达的唯一是，
1.23 * 10^-3

同样的道理，这个也不能表达成 0.123 * 10^-2，虽然值是一样的，但不符合科学计数法的要求—“小数点前有值的，且是±[1-9]”。

3. 二进制科学计数法

对于计算机里的浮点数来说，采用的是二级制科学计数法，为什么是二进制科学计数法？
因为对于计算机中，浮点数的表达使用的特点是
±1.[0-1]… * 2ⁿ

对于所乘的指数，底数是2，而不是10；所乘的指数，使用的是2的指数。
使用2的指数，那么对于科学计数法来说，小数前的数字需要大于0，并且小于底数，就只能是0<x<2，也就只有1这个取值了。
小数点后的值，也因为二进制原因，取值只有[0,1]两个取值，毕竟二进制逢二要进一的。
对于计算机存储而言，每个bit取值只有两个，使用二进制科学计数法，恰如其分，特别的适合。

同十进制的科学计数法一样，对于一个有效值，也只有一种表达的方式，浮点数针对某个值的表达也是唯一的。

例如：1这个数字的表达唯一
二级制：1.0 * 2⁰

例如：8这个数字的唯一表达
二级制：1.0 * 2³

例如：1/2=0.5这个数字的唯一表达
二级制：1.0 * 2^-1

例如：1/8=0.125这个数字的唯一表达
二级制：1.0 * 2^-3

例如: 1/2 + 1/8 = 0.625这个数字的唯一表达
二级制：1.01 * 2^-1

从上面的这些例子也可以看出，每个数字的使用二进制科学计数法的表达也都是唯一的。

4. 浮点数的表达

回到浮点数的存储上来看，计算机中，浮点数的表达使用的特点是：二进制科学计数法
±1.[0-1]… * 2ⁿ

在这里插入图片描述

对于固定的值1，小数点前的值1，存储时是缺省带上的，这有效节省了浮点数的存储空间。
对于float类型，每个bit都有着固定的意义，1.缺省带了以后，后续的精度位依次向后表达，float有23个精度位，有8个指数位，1个符号位。

float缺省带了1之后，后面的二进制位数–23个精度位fraction，依次向后表达。
1/2要不要带
1/4要不要带
1/8要不要带
1/16要不要带
1/32要不要带
1/64要不要带
1/128要不要带
…

这样，±1.[0-1]… * 2ⁿ中，±1.[0-1]…被表达之后，n的表达就在指数位上了。

指数位呢，相对比较简单，就是整形的方式，表达2ⁿ的n值是多少，可以取值正值，也可以取值负值，取值方法参加下面的附录中。

5. 附：指数位取值位数与取值范围

浮点数的指数位是无符号的，它的正负区分通过采用一个偏移值来确定。
下表可以查到float指数位为8位，单精度的偏移值是127；
下表可以查到double指数位为11位，双精度的偏移值是1023；
float单精度偏移前表达范围[0，255]，经过-127偏移后，8位指数位所能表达的范围是：[-127，128]。
double双精度便宜前表达范围是[0, 2047]，经过-1023便宜后，11位指数位所表达的范围是: [-1023, 1024]
但是浮点数是需要表达NaN-not a number与Inf-Infinite的，此时指数位需要来标示，所以全1情况被用掉，另外0特殊表达，指数全0情况也被用掉。
float单精度所以去掉一个最大值，一个最小值，指数表达的范围是：[-126，127]
double双精度去掉一个最大值，一个最小值，指数表达的范围是：[-1022，1023]