C++ AVL树

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什么是AVL树

AVL树：二叉搜索树虽然可以缩短查找的效率，但**如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。**解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1（需要对树中的结点进行调整），就可以降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一颗AVL树或空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
1. 它的左右子树都是AVL树
2. 左右子树高度之差（简称平衡因子）的绝对值不超过1
在这里插入图片描述
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在O(log2n)，搜索时间复杂度O(log2n)

AVL树结点的插入

基本思想：
在这里插入图片描述
是否继续往上更新，要看parent所在子树的高度是否变化
1. parent的平衡因子==0
说明parent的平衡因子更新前提是1 or -1，插入节点插入矮的一边
parent所在子树的高度不变，不需要继续往上更新了
2. parent的平衡因子==1/-1
说明parent的平衡因子更新前是 0，插入节点插入在任意一边
parent所在子树的高度发生了变化，需要继续往上更新
3. parent的平衡因子==2/-2
说明parent的平衡因子更新前是 1 or -1，插入节点插入在高的一边
进一步加剧了parent所在子树的不平衡，需要旋转处理

旋转（四种情况）

左旋转

在这里插入图片描述
基本思想：
1. subRL变成parent的右边（subRL的parent要变成parent，前提subRL不为空）
2. parent变成subR的左边（parent的parent要变成subR）
3. subR变成这棵子树的根（要看parent的parent是否是空结点还是有结点，如果是空就使subR为根节点，并且subR的parent为空，如果是有结点，就要看parent是parentparent的左还是右，如果是左就让subR成为它的左，如果是右就让subR成为它的右，）
4. 最后旋转完成后要把parent和subR的平衡因子设为0

右旋转

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1. subRL变成parent的左边（subRL的parent要变成parent，前提subRL不为空）
2. parent变成subR的右边（parent的parent要变成subR）
3. subR变成这棵子树的根（要看parent的parent是否是空结点还是有结点，如果是空就使subR为根节点，并且subR的parent为空，如果是有结点，就要看parent是parentparent的左还是右，如果是左就让subR成为它的左，如果是右就让subR成为它的右，）
4. 最后旋转完成后要把parent和subR的平衡因子设为0

左右双旋（先左单旋再右单旋）

在这里插入图片描述

平衡因子更新：先判断subLR的bf，然后根据bf来更新parent和subR的bf
1、h0，subLR就是插入结点，parent=0；subR=0，subRL=0；
2、h-1，parent=1，subR=0，subRL=0；
3、h==1,parent=0，subR=-1，subRL=0；

右左双旋（先右单旋再左单旋）

在这里插入图片描述
平衡因子更新：先判断subRL的bf，然后根据bf来更新parent和subR的bf
1、h== 0，subLR就是插入结点，parent->bf=0，subR->bf=0，subRL->bf=0；
2、h==-1，parent->bf=0，subR->bf=1，subRL->bf=0；
3、h==1,parent->bf=-1，subR->bf=0，subRL->bf=0；

AVL树的检查

int _Height(NOde* root){if (root == nullptr){return 0;}int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;}bool _IsBalanceTree(NOde* root){// 空树也是AVL树if (nullptr == root) return true;// 计算pRoot节点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);int diff = rightHeight - leftHeight;// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者// pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树if (diff != root->_bf||abs(diff>=2))return false;// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root ->_right);}

检验用例

void TestAVLTree()
{AVLTree<int, int> t;int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };int a1[] =  {4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14} ;for (auto e : a){t.Inster({ e, e });}t.Inorder();cout<<t.IsBalanceTree()<<endl;
}

AVL树的删除（了解即可）

因为AVL树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，只不错与删除不同的时，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置

总结

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即 $log_2 (N)$ 。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

实现AVL树的代码

#pragma once
#include<iostream>
#include<assert.h>
using namespace std;template<class K, class V>struct AVLNodes
{pair<K,V> _kv;AVLNodes<K, V>* _left;AVLNodes<K, V>* _right;AVLNodes<K, V>* _parent;int _bf;AVLNodes(const pair<K, V>& kv): _kv(kv), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0){}
};template <class K, class V>class AVLTree
{typedef AVLNodes<K, V> NOde;
public://添加bool Inster(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new NOde(kv);return true;}NOde* parent = nullptr;NOde* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new NOde(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;//更新平衡因子while (parent){if (cur == parent->_left)parent->_bf--;if (cur == parent->_right)parent->_bf++;if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = parent->_parent;}else if(parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//旋转if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){PotateRL(parent);}else{PotateLR(parent);}}else{assert(false);}}return true;}NOde* Find(const K& key){NOde* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > key){cur = cur->_left;}else{return cur;}}return nullptr;}void Inorder(){_Inorder(_root);cout << endl;}bool Delete(const K& key){NOde* parent = nullptr;NOde* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{//delete一个或0个孩子if (cur->_left == nullptr){if (parent == nullptr){_root = cur->_right;}else{if (parent->_left == cur){parent->_left = cur->_right;}else{parent->_right = cur->_right;}}delete cur;return true;}if (cur->_right == nullptr){if (parent == nullptr){_root = cur->_left;}else{if (parent->_right == cur){parent->_right = cur->_left;}else{parent->_left = cur->_left;}}delete cur;return true;}//两个孩子//右子树最小节点作为代替节点NOde* rightMinp = cur;NOde* rightMin = cur->_right;while (rightMin->_left){rightMinp = rightMin;rightMin = rightMin->_left;}cur->_key = rightMin->_key;if (rightMinp->_left == rightMin)rightMinp->_left = rightMin->_right;elserightMinp->_right = rightMin->_right;delete rightMin;return true;}}return false;}bool IsBalanceTree(){return _IsBalanceTree(_root);}
private:int _Height(NOde* root){if (root == nullptr){return 0;}int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;}bool _IsBalanceTree(NOde* root){// 空树也是AVL树if (nullptr == root) return true;// 计算pRoot节点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);int diff = rightHeight - leftHeight;// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者
// pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树if (diff != root->_bf||abs(diff>=2))return false;// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root ->_right);}void RotateL(NOde* parent){NOde* subR = parent->_right;NOde* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;NOde* parentparent = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (parentparent == nullptr){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (parent == parentparent->_left){parentparent->_left = subR;}if (parent == parentparent->_right){parentparent->_right = subR;}subR->_parent = parentparent;}subR->_bf = parent->_bf = 0;}void RotateR(NOde* parent){NOde* subL = parent->_left;NOde* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;NOde* parentparent = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (parentparent == nullptr){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (parent == parentparent->_left){parentparent->_left = subL;}if (parent == parentparent->_right){parentparent->_right = subL;}subL->_parent = parentparent;}subL->_bf = parent->_bf = 0;}void PotateRL(NOde* parent){NOde* subR = parent->_right;NOde* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == 0){subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}if (bf == 1){subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;parent->_bf = -1;}if (bf == -1){subR->_bf = 1;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}}void PotateLR(NOde* parent){NOde* subR = parent->_left;NOde* subRL = subR->_right;int bf = subRL->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == 0){subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}if (bf == 1){subR->_bf = -1;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}if (bf == -1){subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 1;}}void _Inorder(NOde* root){if (root == nullptr){return;}_Inorder(root->_left);cout << root->_kv.first << "="<<root->_kv.second<<"|";_Inorder(root->_right);}private:NOde* _root = nullptr;
};