向量的点乘和叉乘是向量代数中的基本运算，在物理学、工程学和计算机图形学中有广泛的应用。下面我们分别讲解它们的定义、性质，并结合矩阵运算进行说明。

一、向量的点乘（内积）

定义：

对于两个n维实向量 $\mathbf{a}=[a_1,a_2,...,a_n]$ 和 $\mathbf{b}=[b_1,b_2,...,b_n]$，它们的点乘（也称为内积）定义为：

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i$$

几何意义：

点乘可以用于计算两个向量之间的夹角，以及投影的长度。具体来说，点乘等于两个向量的长度与它们夹角的余弦的乘积：

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\Vert \mathbf{a}\Vert \Vert \mathbf{b}\Vert \cos \theta$$

其中 $\theta$ 是向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 之间的夹角。

性质：

1. 交换律：$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot \mathbf{a}$
2. 线性性：对任意标量 $k$，$\mathbf{a}\cdot (k\mathbf{b})=k(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})$
3. 分配律：$\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}$

与矩阵运算的关系：

点乘可以视为矩阵乘法的特殊情况。将向量视为列向量或行向量，有：

• 行向量与列向量相乘：

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\left[\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \cdots & a_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right]$$

• 矩阵形式：

$${\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}\mathbf{b}=\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$$

其中 ${\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}$ 表示向量 $\mathbf{a}$ 的转置。

二、向量的叉乘（外积）

定义：

叉乘仅在三维空间中定义，对于 $\mathbf{a}=[a_1,a_2,a_3]$ 和 $\mathbf{b}=[b_1,b_2,b_3]$，它们的叉乘是一个新的向量：

$$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}{a}_2{b}_3-a_3{b}_2\\ a_3{b}_1-a_1{b}_3\\ a_1{b}_2-a_2{b}_1\end{array}\right]$$

几何意义：

叉乘结果向量垂直于原来的两个向量，且其方向由右手定则确定。叉乘的长度等于两个向量所张成的平行四边形的面积：

$$\Vert \mathbf{a}\times \mathbf{b}\Vert =\Vert \mathbf{a}\Vert \Vert \mathbf{b}\Vert \sin \theta$$

性质：

1. 反交换律：$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=-(\mathbf{b}\times \mathbf{a})$
2. 分配律：$\mathbf{a}\times (\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a}\times \mathbf{b}+\mathbf{a}\times \mathbf{c}$
3. 与标量的关系：对于标量 $k$，$k(\mathbf{a}\times \mathbf{b})=(k\mathbf{a})\times \mathbf{b}=\mathbf{a}\times (k\mathbf{b})$

与矩阵运算的关系：

叉乘可以用反对称矩阵表示：

• 利用反对称矩阵：

对于向量 $\mathbf{a}=[a_1,a_2,a_3]$，定义对应的反对称矩阵 $[\mathbf{a}{]}_{\times }$：

$$[\mathbf{a}{]}_{\times }=\left[\begin{array}{ccc}0& -a_3& a_2\\ a_3& 0& -a_1\\ -a_2& a_1& 0\end{array}\right]$$

则有：

$$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=[\mathbf{a}{]}_{\times }\mathbf{b}$$

• 矩阵形式的叉乘：

叉乘可以表示为矩阵乘法，这在刚体动力学和旋转变换中非常有用。

三、综合运用

1. 点乘与矩阵的关系

在机器学习和数据分析中，经常需要计算大量的点乘运算，可以利用矩阵乘法的高效算法。例如，给定矩阵 $\mathbf{A}\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$ 和向量 $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n$，则矩阵与向量的乘积 $\mathbf{Ax}$ 的第 $i$ 个元素就是 $\mathbf{A}$ 的第 $i$ 行与向量 $\mathbf{x}$ 的点乘：

$$(\mathbf{Ax}{)}_i={\mathbf{A}}_{i,:}\cdot \mathbf{x}$$

2. 叉乘与矩阵的关系

在计算机图形学中，旋转操作可以用四元数或旋转矩阵表示，其中就涉及到叉乘的矩阵形式。例如， Rodrigues 旋转公式使用了叉乘的反对称矩阵形式。

3. 混合积

点乘和叉乘可以结合起来定义三重积（混合积）：

$$\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}\times \mathbf{c})=\det \left[\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right]$$

它的几何意义是由三个向量构成的平行六面体的体积。

四、结论

向量的点乘和叉乘是基本的代数运算，点乘与矩阵乘法直接相关，而叉乘可以用反对称矩阵表示，从而与矩阵运算建立联系。理解它们之间的关系，有助于在工程计算、物理模拟和计算机图形学中灵活运用矩阵方法解决复杂问题。