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回顾

上一节使用了高斯核来对查询和键之间的关系建模。上一节中的高斯核指数部分可以视为注意力评分函数（attention scoring function），简称评分函数（scoring function），然后把这个函数的输出结果输入到softmax函数中进行运算。通过上述步骤，将得到与键对应的值的概率分布（即注意力权重）。最后，注意力汇聚的输出就是基于这些注意力权重的值的加权和。
如果用核回归的话就是下面这个公式。

我们通过一个函数先计算得到注意力分数，然后经过softmax后得到注意力权重。
从宏观来看，上述算法可以用来实现之前博客中的注意力机制框架。 下图说明了如何将注意力汇聚的输出计算成为值的加权和，其中$a$表示注意力评分函数。由于注意力权重是概率分布，因此加权和其本质上是加权平均值。

拓展到高维度

用数学语言描述，假设有一个查询$\mathbf{q}\in {\mathbb{R}}^q$和$m$个“键－值”对$({\mathbf{k}}_1,{\mathbf{v}}_1),\dots ,({\mathbf{k}}_m,{\mathbf{v}}_m)$，其中${\mathbf{k}}_i\in {\mathbb{R}}^k$，${\mathbf{v}}_i\in {\mathbb{R}}^v$。这里的$q，k，v$的长度都可不同。
注意力汇聚函数$f$就被表示成值的加权和：

$$f(\mathbf{q},({\mathbf{k}}_1,{\mathbf{v}}_1),\dots ,({\mathbf{k}}_m,{\mathbf{v}}_m))=\sum _{i=1}^m\alpha (\mathbf{q},{\mathbf{k}}_i){\mathbf{v}}_i\in {\mathbb{R}}^v,$$
:eqlabel:eq_attn-pooling

其中查询$\mathbf{q}$和键${\mathbf{k}}_i$的注意力权重（标量）是通过注意力评分函数$a$将两个向量映射成标量，再经过softmax运算得到的：

$$\alpha (\mathbf{q},{\mathbf{k}}_i)=\mathrm{softmax}(a(\mathbf{q},{\mathbf{k}}_i))=\frac{\exp (a(\mathbf{q},{\mathbf{k}}_i))}{{\sum }_{j=1}^m\exp (a(\mathbf{q},{\mathbf{k}}_j))}\in \mathbb{R}.$$
:eqlabel:eq_attn-scoring-alpha

正如上图所示，选择不同的注意力评分函数$a$会导致不同的注意力汇聚操作。本节将介绍两个流行的评分函数（加性注意力和缩放点积注意力），稍后将用他们来实现更复杂的注意力机制。

总结

注意力分数是query和key的相似度，注意力权重是分数的softmax结果。两种常见的分数计算:第一种：将query和key合并起来进入一个单输出单隐藏层的MLP、第二种：直接将query和key做内积

import math
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

掩蔽softmax操作

正如上面提到的，softmax操作用于输出一个概率分布作为注意力权重。
在某些情况下，并非所有的值都应该被纳入到注意力汇聚中。
例如，为了在 :numref:sec_machine_translation中高效处理小批量数据集，
某些文本序列被填充了没有意义的特殊词元。
为了仅将有意义的词元作为值来获取注意力汇聚，
可以指定一个有效序列长度（即词元的个数），
以便在计算softmax时过滤掉超出指定范围的位置。
下面的masked_softmax函数
实现了这样的掩蔽softmax操作（masked softmax operation），
其中任何超出有效长度的位置都被掩蔽并置为0。

def masked_softmax(X, valid_lens):"""通过在最后一个轴上掩蔽元素来执行softmax操作"""# X:3D张量，valid_lens:1D或2D张量if valid_lens is None:return nn.functional.softmax(X, dim=-1)else:shape = X.shapeif valid_lens.dim() == 1:valid_lens = torch.repeat_interleave(valid_lens, shape[1])else:valid_lens = valid_lens.reshape(-1) # 作用是将 valid_lens 张量展平为一维张量。# 最后一轴上被掩蔽的元素使用一个非常大的负值替换，从而其softmax输出为0X = d2l.sequence_mask(X.reshape(-1, shape[-1]), valid_lens,value=-1e6)return nn.functional.softmax(X.reshape(shape), dim=-1)

torch.repeat_interleave(valid_lens, shape[1]) 的作用是将 valid_lens 中的每个元素重复 shape[1] 次，以便于与输入张量 X 的形状匹配。
详细解释：

1. 上下文：valid_lens 是一个表示有效长度的张量，通常用于指示在处理序列时哪些位置是有效的。它的形状可以是 1D（例如每个序列的有效长度）或 2D（例如批量中的多个序列的有效长度）。
2. shape[1]：这是输入张量 X 的第二个维度的大小，通常对应于序列的最大长度或批量中的序列数量。
3. torch.repeat_interleave：这个函数会将 valid_lens 中的每个元素重复指定的次数。在这里，它将 valid_lens 中的每个有效长度重复 shape[1] 次，以便生成一个新的张量，使得每个有效长度对应到 X 中的每个序列。
   例子：假设 valid_lens = [2, 3]，而 shape[1] = 4，那么 torch.repeat_interleave(valid_lens, shape[1]) 会生成：
   [[2, 2, 3, 3]]这样处理后，valid_lens 的元素就可以与 X 的形状匹配，从而在后续的掩蔽操作中正确应用有效长度。

为了[演示此函数是如何工作]的，考虑由两个$2\times 4$矩阵表示的样本，这两个样本的有效长度分别为$2$和$3$。
经过掩蔽softmax操作，超出有效长度的值都被掩蔽为0。

masked_softmax(torch.rand(2, 2, 4), torch.tensor([2, 3]))

tensor([[[0.6416, 0.3584, 0.0000, 0.0000],[0.4198, 0.5802, 0.0000, 0.0000]],[[0.3653, 0.3706, 0.2641, 0.0000],[0.2527, 0.3073, 0.4400, 0.0000]]])

同样，也可以使用二维张量，为矩阵样本中的每一行指定有效长度。

masked_softmax(torch.rand(2, 2, 4), torch.tensor([[1, 3], [2, 4]]))

tensor([[[1.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000],[0.3091, 0.3807, 0.3102, 0.0000]],[[0.5216, 0.4784, 0.0000, 0.0000],[0.2289, 0.2628, 0.2646, 0.2437]]])

加性注意力

🏷subsec_additive-attention

一般来说，当查询和键是不同长度的矢量时，可以使用加性注意力作为评分函数。给定查询$\mathbf{q}\in {\mathbb{R}}^q$和键$\mathbf{k}\in {\mathbb{R}}^k$，加性注意力（additive attention）的评分函数为

$$a(\mathbf{q},\mathbf{k})={\mathbf{w}}_v^{\top }\text{tanh}({\mathbf{W}}_q\mathbf{q}+{\mathbf{W}}_k\mathbf{k})\in \mathbb{R},$$
:eqlabel:eq_additive-attn

其中可学习的参数是${\mathbf{W}}_q\in {\mathbb{R}}^{h\times q}$、${\mathbf{W}}_k\in {\mathbb{R}}^{h\times k}$和${\mathbf{w}}_v\in {\mathbb{R}}^h$。如 :eqref:eq_additive-attn所示，将查询和键连结起来后输入到一个多层感知机（MLP）中，感知机包含一个隐藏层，其隐藏单元数是一个超参数$h$，输出大小为1。通过使用$\tanh$作为激活函数，并且禁用偏置项。下面来实现加性注意力。

#@save
class AdditiveAttention(nn.Module):"""加性注意力"""def __init__(self, key_size, query_size, num_hiddens, dropout, **kwargs):super(AdditiveAttention, self).__init__(**kwargs)self.W_k = nn.Linear(key_size, num_hiddens, bias=False)self.W_q = nn.Linear(query_size, num_hiddens, bias=False)self.w_v = nn.Linear(num_hiddens, 1, bias=False)self.dropout = nn.Dropout(dropout)def forward(self, queries, keys, values, valid_lens):queries, keys = self.W_q(queries), self.W_k(keys)# 在维度扩展后，# queries的形状：(batch_size，查询的个数，1，num_hidden)# key的形状：(batch_size，1，“键－值”对的个数，num_hiddens)# 使用广播方式进行求和features = queries.unsqueeze(2) + keys.unsqueeze(1)features = torch.tanh(features)# self.w_v仅有一个输出，因此从形状中移除最后那个维度（最后一个维度长度变成1）。# 目前scores的形状：(batch_size，查询的个数，“键-值”对的个数，1)scores = self.w_v(features).squeeze(-1)# 目前scores的形状：(batch_size，查询的个数，“键-值”对的个数)self.attention_weights = masked_softmax(scores, valid_lens) #通过valid_lens过滤掉我不需要的key-value pairs# values的形状：(batch_size，“键－值”对的个数，值的维度)return torch.bmm(self.dropout(self.attention_weights), values)  

用一个小例子来[演示上面的AdditiveAttention类]，其中查询、键和值的形状为（批量大小，步数或词元序列长度，特征大小），
实际输出为$(2,1,20)$、$(2,10,2)$和$(2,10,4)$。其中第一个维度都是批量大小，第二个比如queries中就是query的数量，或者keys中key的数量，第三个就是查询、键、值的特征长度。
注意力汇聚输出的形状为（批量大小，查询的步数，值的维度）。

queries, keys = torch.normal(0, 1, (2, 1, 20)), torch.ones((2, 10, 2))
# values的小批量，两个值矩阵是相同的
values = torch.arange(40, dtype=torch.float32).reshape(1, 10, 4).repeat(2, 1, 1)
valid_lens = torch.tensor([2, 6])attention = AdditiveAttention(key_size=2, query_size=20, num_hiddens=8,dropout=0.1)
attention.eval()
attention(queries, keys, values, valid_lens)

tensor([[[ 2.0000,  3.0000,  4.0000,  5.0000]],[[10.0000, 11.0000, 12.0000, 13.0000]]], grad_fn=<BmmBackward0>)

尽管加性注意力包含了可学习的参数，但由于本例子中每个键都是相同的，所以[注意力权重]是均匀的，由指定的有效长度决定。

d2l.show_heatmaps(attention.attention_weights.reshape((1, 1, 2, 10)), xlabel='Keys', ylabel='Queries')

上图解释一下第一行，因为valid_lens = torch.tensor([2, 6])第一个参数是2，所以第一个Query只有对keys的前两个值的注意力，又因为key（意味着value也一样，key和value是成对的）都长一样，所以注意力也是一样的。

缩放点积注意力

使用点积可以得到计算效率更高的评分函数，但是点积操作要求查询和键具有相同的长度$d$。
假设查询和键的所有元素都是独立的随机变量，并且都满足零均值和单位方差，那么两个向量的点积的均值为$0$，方差为$d$。为确保无论向量长度如何，点积的方差在不考虑向量长度的情况下仍然是$1$，我们再将点积除以$\sqrt{d}$，则缩放点积注意力（scaled dot-product attention）评分函数为：

$$a(\mathbf{q},\mathbf{k})={\mathbf{q}}^{\top }\mathbf{k}/\sqrt{d}.$$
此时我们不学习东西。在实践中，我们通常从小批量的角度（对上面实现向量化）来考虑提高效率，例如基于$n$个查询和$m$个键－值对计算注意力，其中查询和键的长度为$d$，值的长度为$v$。查询$\mathbf{Q}\in {\mathbb{R}}^{n\times d}$、键$\mathbf{K}\in {\mathbb{R}}^{m\times d}$和值$\mathbf{V}\in {\mathbb{R}}^{m\times v}$的缩放点积注意力是：

$$\mathrm{softmax}\left(\frac{\mathbf{Q}{\mathbf{K}}^{\top }}{\sqrt{d}}\right)\mathbf{V}\in {\mathbb{R}}^{n\times v}.$$
:eqlabel:eq_softmax_QK_V

下面的缩放点积注意力的实现使用了暂退法进行模型正则化。

#@save
class DotProductAttention(nn.Module):"""缩放点积注意力"""def __init__(self, dropout, **kwargs):super(DotProductAttention, self).__init__(**kwargs)self.dropout = nn.Dropout(dropout)# queries的形状：(batch_size，查询的个数，d)# keys的形状：(batch_size，“键－值”对的个数，d)# values的形状：(batch_size，“键－值”对的个数，值的维度)# valid_lens的形状:(batch_size，)或者(batch_size，查询的个数)def forward(self, queries, keys, values, valid_lens=None):d = queries.shape[-1]# 设置transpose_b=True为了交换keys的最后两个维度scores = torch.bmm(queries, keys.transpose(1,2)) / math.sqrt(d)self.attention_weights = masked_softmax(scores, valid_lens)return torch.bmm(self.dropout(self.attention_weights), values)

为了[演示上述的DotProductAttention类]，
我们使用与先前加性注意力例子中相同的键、值和有效长度。
对于点积操作，我们令查询的特征维度与键的特征维度大小相同。

queries = torch.normal(0, 1, (2, 1, 2))
attention = DotProductAttention(dropout=0.5)
attention.eval()
attention(queries, keys, values, valid_lens)

tensor([[[ 2.0000,  3.0000,  4.0000,  5.0000]],[[10.0000, 11.0000, 12.0000, 13.0000]]])

与加性注意力演示相同，由于键包含的是相同的元素，
而这些元素无法通过任何查询进行区分，因此获得了[均匀的注意力权重]。

d2l.show_heatmaps(attention.attention_weights.reshape((1, 1, 2, 10)),xlabel='Keys', ylabel='Queries')

小结

• 将注意力汇聚的输出计算可以作为值的加权平均，选择不同的注意力评分函数会带来不同的注意力汇聚操作。
• 当查询和键是不同长度的矢量时，可以使用可加性注意力评分函数。当它们的长度相同时，使用缩放的“点－积”注意力评分函数的计算效率更高。

练习

1. 修改小例子中的键，并且可视化注意力权重。可加性注意力和缩放的“点－积”注意力是否仍然产生相同的结果？为什么？
2. 只使用矩阵乘法，能否为具有不同矢量长度的查询和键设计新的评分函数？
3. 当查询和键具有相同的矢量长度时，矢量求和作为评分函数是否比“点－积”更好？为什么？