数据结构--树

文章目录

树
- 1. 树的理解
- 2. 二叉树的基本概念
- 3. 二叉树的遍历
- 4. 经典二叉树
- 5. 二叉树及其结点的表示

树

1. 树的理解

在这里插入图片描述

专有名词解释：

结点：树中的数据元素都称之为结点

根节点：最上面的结点称之为根，一颗树只有一个根且由根发展而来，从另外一个角度来说，每个结点都可以认为是其子树的根

父节点：结点的上层结点，如图中，结点K的父节点是E、结点L的父节点是G

子节点：节点的下层结点，如图中，节点E的子节点是K节点、节点G的子节点是L节点

兄弟节点：具有相同父节点的结点称为兄弟节点，图中F、G、H互为兄弟节点

结点的度数：每个结点所拥有的子树的个数称之为结点的度，如结点B的度为3

树叶：度数为0的结点，也叫作终端结点，图中D、K、F、L、H、I、J都是树叶

非终端节点（或分支节点）：树叶以外的节点，或度数不为0的节点。图中根、A、B、C、E、G都是

树的深度（或高度）：树中结点的最大层次数，图中树的深度为4

结点的层数：从根节点到树中某结点所经路径上的分支树称为该结点的层数，根节点的层数规定为1，其余结点的层数等于其父亲结点的层数+1

同代：在同一棵树中具有相同层数的节点

2. 二叉树的基本概念

二叉树（Binary tree）是树形结构的一个重要类型。二叉树特点是每个结点最多只能有两棵子树，且有左右之分。许多实际问题抽象出来的数据结构往往是二叉树形式，二叉树的存储结构及其算法都较为简单，因此二叉树显得特别重要。

3. 二叉树的遍历

前序遍历：中左右（根左右）

即先访问根结点，再前序遍历左子树，最后再前序遍历右子树。前序遍历运算访问二叉树各结点是以根、左、右的顺序进行访问的。

前序遍历：ABDEGCFHI

public class TreeSearch {// 创建一个二叉树public TreeNode getTargetTree() {// 叶子节点TreeNode G = new TreeNode("G");TreeNode D = new TreeNode("D");TreeNode E = new TreeNode("E", G, null);TreeNode B = new TreeNode("B", D, E);TreeNode H = new TreeNode("H");TreeNode I = new TreeNode("I");TreeNode F = new TreeNode("F", H, I);TreeNode C = new TreeNode("C", null, F);// 构造根节点TreeNode root = new TreeNode("A", B, C);return root;}/*** 前序遍历*/public void preorderVistTreeNode(TreeNode node) {if (null != node) {System.out.print(node.value);if (null != node.leftchildren) {preorderVistTreeNode(node.leftchildren);}if (null != node.rightchildre) {preorderVistTreeNode(node.rightchildre);}}}public static void main(String[] args) {TreeSearch treeSearch = new TreeSearch();TreeNode tree = treeSearch.getTargetTree();System.out.print("前序遍历:");treeSearch.preorderVistTreeNode(tree);System.out.println("");		}
}

中序遍历：左中右（左根右）

即先中前序遍历左子树，然后再访问根结点，最后再中序遍历右子树。中序遍历运算访问二叉树各结点是以左、根、右的顺序进行访问的。

中序遍历：DBGEACHFI

/**
*  中序遍历
*/
public void inorderVistTreeNode(TreeNode node){if(null != node){if(null != node.leftchildren){inorderVistTreeNode(node.leftchildren);}System.out.print(node.value);if(null != node.rightchildre){inorderVistTreeNode(node.rightchildre);}}
}public static void main(String[] args) {TreeSearch treeSearch = new TreeSearch();TreeNode tree= treeSearch.getTargetTree();System.out.print("中序遍历:");treeSearch.inorderVistTreeNode(tree);System.out.println("");
}

后序遍历：左右中（左右根）

即先后序遍历左子树，然后再后序遍历右子树，最后访问根结点。后序遍历运算访问二叉树各结点是以左、右、根的顺序进行访问的。

后序遍历：DGEBHIFCA

/***  后序遍历*/
public void postorderVistTreeNode(TreeNode node){if(null != node){if(null != node.leftchildren){postorderVistTreeNode(node.leftchildren);}if(null != node.rightchildre){postorderVistTreeNode(node.rightchildre);}System.out.print(node.value);}
}public static void main(String[] args) {TreeSearch treeSearch = new TreeSearch();TreeNode tree= treeSearch.getTargetTree();System.out.print("后序遍历:");treeSearch.postorderVistTreeNode(tree);System.out.println("");
}

4. 经典二叉树

1、满二叉树：除最后一层无任何子节点外，每一层上的所有结点都有两个子结点的二叉树。第n层的结点数是2的n-1次方，总的结点个数是2的n次方-1

在这里插入图片描述

2、完全二叉树：叶结点只能出现在最底层的两层，且最底层叶结点均处于次底层叶结点的左侧。

在这里插入图片描述
3、二叉排序/查找/搜索树：即为BST (binary search/sort tree)。满足如下性质：
（1）若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值均小于它的根节点的值；
（2）若它的右子树上所有结点的值均大于它的根节点的值；
（3）它的左、右子树也分别为二叉排序/查找/搜索树。

对二叉查找树进行中序遍历，得到有序集合。便于检索。

4、平衡二叉树：（Self-balancing binary search tree，AVL）首先是二叉排序树，此外具有以下性质：
（1）它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1
（2）并且左右两个子树也都是一棵平衡二叉树
（3）不要求非叶节点都有两个子结点

平衡二叉树的目的是为了减少二叉查找树的层次，提高查找速度。平衡二叉树的常用实现有红黑树、AVL、替罪羊树、Treap、伸展树等。

5、红黑树：即Red-Black Tree。红黑树的每个节点上都有存储位表示节点的颜色，可以是红(Red)或黑(Black)。

红黑树是一种自平衡二叉查找树，是在计算机科学中用到的一种数据结构，它是在 1972 年由 Rudolf Bayer 发明的。红黑树是复杂的，但它的操作有着良好的最坏情况运行时间，并且在实践中是高效的：它可以在 O(log n)时间内做查找，插入和删除，这里的 n 是树中元素的数目。

红黑树的特性：

每个节点是红色或者黑色
根节点是黑色
每个叶子节点（NIL）是黑色。（注意：这里叶子节点，是指为空(NIL或NULL)的叶子节点）
每个红色节点的两个子节点都是黑色的。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点)
从任一节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色节点（确保没有一条路径会比其他路径长出2倍）

当我们插入或删除节点时，可能会破坏已有的红黑树，使得它不满足以上5个要求，那么此时就需要进行处理，使得它继续满足以上的5个要求：

1、recolor ：将某个节点变红或变黑

2、rotation ：将红黑树某些结点分支进行旋转（左旋或右旋）

红黑树可以通过红色节点和黑色节点尽可能的保证二叉树的平衡。主要是用它来存储有序的数据，它的时间复杂度是O(logN)，效率非常之高。

5. 二叉树及其结点的表示

普通二叉树：

public class BinaryTree<E>{private TreeNode root; //二叉树的根结点private int total;//结点总个数private class TreeNode{//至少有以下几个部分TreeNode parent;TreeNode left;E data;TreeNode right;public TreeNode(TreeNode parent, TreeNode left, E data, TreeNode right) {this.parent = parent;this.left = left;this.data = data;this.right = right;}}
}

TreeMap红黑树：

public class TreeMap<K,V> {private transient Entry<K,V> root;private transient int size = 0;static final class Entry<K,V> implements Map.Entry<K,V> {K key;V value;Entry<K,V> left;Entry<K,V> right;Entry<K,V> parent;boolean color = BLACK;/*** Make a new cell with given key, value, and parent, and with* {@code null} child links, and BLACK color.*/Entry(K key, V value, Entry<K,V> parent) {this.key = key;this.value = value;this.parent = parent;}}
}