1.数组的定义及特点

数组：按一定格式排列起来的，具有相同类型的数据元素的集合。

1.1一维数组

• 若线性表中的数据元素为非结构的简单元素，则称为一维数组。
• 一维数组的逻辑结构:线性结构，定长的线性表
• 声明格式:数据类型 变量名称 [长度];
• 例:int num[5]={0，1，2，3，4};

1.2二维数组

• 若一维数组中的数据元素又是一维数组结构，则称为二维数组。

• 二维数组的逻辑结构：既可以看作线性结构，又可以看作非线性结构
  

• 声明格式:数据类型 变量名称[行数[[列数];

• 其中，行数为第一维的长度，列数是第二维的长度

• 例:int num[5][8];
  注意：在C语言中，一个二维数组类型也可以定义为一维数组类型
  (其分量类型为一维数组类型)，即：
  
  1.typedef elemtype array2[m][n]; 这行代码定义了一个名为 array2 的新类型，它是一个二维数组，其元素类型为 elemtype，第一维大小为 m，第二维大小为 n。这意味着你可以使用 array2 来声明一个具有 m 行和 n 列的数组。
  2.typedef elemtype array1[n]; 这行代码定义了一个名为 array1 的新类型，它是一个一维数组，其元素类型为 elemtype，大小为 n。
  3.typedef array1 array2[m]; 这行代码实际上是将 array2 定义为一个指向 array1 类型数组的指针，这里的 m 表示指针可以指向 m 个 array1 类型的数组。换句话说，它创建了一个指向一维数组（每个一维数组有 n 个 elemtype 元素）的指针数组，每个指针指向一个 n 元素的数组。

m行n列：

如上图：

1.2.1 若看做线性结构，

我们可以把每一行看做一维数组中的一个元素（共m个元素）：
下标i表示一整行看做一个整体元素

也可以把每一列看做一维数组中的一个元素（共n个元素）：

下标j表示一整列看做一个整体元素

1.2.2 若看做非线性结构，

• 以a₁₁为例：
  
• 在所在行中有一个前驱，一个后继；
• 在所在列中同样有一个前驱，一个后继
• 即一个元素不只有一个前驱和一个后继了，即为不是一对一的非线性结构

1.3三维数组---------n维数组：

• 若二维数组中的元素又是一个一维数组，则称作三维数组。
• 若 n-1维数组中的元素又是一个一维数组结构，则称作 n维数组。

• 数组基本操作:除了结构的初始化和销毁之外只有取元素和修改元素值的操作。

2.数组的抽象类型定义

2.1实例：

COL每一列间的前驱后继关系：如a₀₀** 在列上的后继为 a₁₀
ROW:每一行间的前驱后继关系：如a₀₀ 在行上的后继为 a₀₁

3.数组的顺序存储

3.1一维数组实例;

这里的地址编号没有使用正规的16进制，是因为便于表述和计算

• 需要知道的信息：第一个元素(下标为0)的起始地址a，每个元素占多大空间L，待计算地址元素之前共存在几个元素i
• 则下标为i的元素的起始地址为：a+i*L
• 所以这里LOC(3)=2000+3*4=2012

总结得到一维数组中元素起始地址的计算方法：

3.2二维数组

存储单元是一维结构，而数组是个多维结构,则用一组连续存储单元存放数组的数据元素就有个次序约定问题。

m行n列的二维数组

3.2.1行序为主序：C,PASCAL,JAVA, Basic

具体在内存中的存储：


m行n列的元素从头到尾，一行一行地存储在下标为0~m*n-1这个连续的内存空间中

3.2.1.1二维数组实例;

有二维数组A[m][n](A[0… …m-1][0… …n-1]),则如何计算数组元素a[i][j]的存储位置？

与一维数组类似：

• 需要知道的信息：第一个元素(下标为0)的起始地址a，每个元素占多大空间L，待计算地址元素之前共存在几个元素i
• 只不过这里待计算地址元素之前共存在几个元素i通过计算前面有几行元素，和该元素所处行中在该元素之前有几个元素来取得

分析过程如下：

3.2.2 列序为主序：FORTRAN

具体在内存中的存储：

m行n列的元素从头到尾，一列一列地存储在下标为0~m*n-1这个连续的内存空间中

3.3三维数组------n维数组（了解即可）

4.特殊矩阵的压缩存储（思路为重）

4.1为什么需要压缩存储

• 矩阵: 一个由 m*n个元素排成的 m行n列的表
  
• 矩阵的常规存储: 将矩阵描述为一个二维数组。
• 矩阵的常规存储的特点:
  （1）可以对其元素进行随机存取;
  （2）矩阵运算非常简单;
  （3）存储的密度为1。
• 不适宜常规存储的矩阵:
  （1）值相同的元素很多且呈某种规律分布；
  （2）零元素多
• 矩阵的压缩存储:
  （1）为多个相同的非零元素只分配一个存储空间;
  （2）对零元素不分配空间。
• 能够压缩的矩阵类型：如对称矩阵，对角矩阵，三角矩阵，稀疏矩阵等

4.2对称矩阵的压缩存储

4.2.1特点与存储方法

这里的占用空间数，是使用等差数列求和公式：Sn=n*(a_n+a₁)/2求解得到的

4.2.2对称矩阵的存储结构

• 对称矩阵上下三角中的元素数均为:（注意是n行n列的矩阵）
  推理过程：
  第一行1个，第二行2个，…第n行n个：
  1+2+3+…+n= n*(a_n+a₁)/2 = n*(n+1)/2
  
• 可以以行序为主序将元素存放在一个一维数组中。
  
• 例如:以行序为主序存储下三角:
  
  
  则a_ij的下标K为 (i-1)*i/2+(j-1)
  推导如下：
  

4.3三角矩阵的存储结构

4.3.1特点与存储方法（与对称矩阵十分类似，只多了一个共享存储单元）

注意这里下标为0的存储空间中存储常数c；
下三角矩阵下标推导：

下三角矩阵推的有点费劲，以后有机会再推

4.4对角矩阵（带状矩阵）的存储结构

4.4.1特点与存储方法

注意：

• 有几条对角线上的元素为非零元素，就称为几对角矩阵

存储在二维数组中

4.5稀疏矩阵的存储结构

4.5.1特点与存储方法

4.5.1.1存储特点：

4.5.1.2存储方法：

实例一：6行7列的（伪）稀疏矩阵如下：


则使用三元组法进行存储：（这里的行列号均从1开始记起）

（1）i：非零元素所处行号
（2）j：非零元素所处列号
（3）a_ij:非零元素的元素值

4.5.1.2.1存储方法1：三元组顺序表法（有序的双下标法）

• 那么通过这样的三元组顺序表就可以轻松地得到对应的稀疏矩阵
  
• 三元组顺序表的优劣：
  （1）三元组顺序表又称有序的双下标法。
  （2）三元组顺序表的优点:非零元在表中按行序有序存储，因此便于进行依行顺序处理的矩阵运算。
  （3）三元组顺序表的缺点:不能随机存取。若按行号存取某一行中的非零元，则需从头开始进行查找。

4.5.1.2.2存储方法2：三元组链式存储法（十字链表法）

• 十字链表法的优点
  
• 十字链表法的存储特点
  
  数据域存：行数，列数，元素值
  指针域包含两个指针，保证衔接正常

两个实际的例子如下：


为了方便查找，我们需要两个头指针数组：
即行的头指针数组（长度等于行数）以及列的头指针数组（长度等于列数）

5.广义表

5.1广义表的定义与组成

5.1.1广义表的定义

一个具体的实例如下：

5.1.2广义表的组成

• 表头：
  
  
  注意：表头可以是一个原子，也可以是一个子表
• 表尾：
  
  
  注意：表尾不是最后一个元素，而是一个子表。
  需要将除表头之外的所有元素包含在括号里

5.1.3一些具体的实例：

分析（3）：表尾为((b,c)）;
两个括号。
外层括号证明表尾是一个子表，内层括号证明表尾中只有一个元素

5.1广义表的性质

5.1广义表与线性表的区别

5.2广义表的基本运算

• （1）求表头GetHead(L):非空广义表的第一个元素，可以是一个原子，也可以是一个子表
  -（2）求表尾GetTail(L):非空广义表除去表头元素以外其它元素所构成的表。表尾一定是一个表

实例如下：

注意：广义表不能使用数组存储，需要使用链表进行存储