Softmax函数

用户:

cv::Mat softmax(const cv::Mat& src) {CV_Assert(src.type() == CV_32FC1); // 确保输入矩阵是单通道的32位浮点类型for (auto i = 0; i < src.rows; ++i) {cv::Mat singleRow = src.row(i);double max;cv::minMaxLoc(singleRow, NULL, &max, NULL, NULL);singleRow -= static_cast<float>(max);cv::exp(singleRow, singleRow);cv::Mat sumMat;cv::reduce(singleRow, sumMat, 1, cv::REDUCE_SUM, CV_32F);float sum = sumMat.at<float>(0, 0); // 假设 sumMat 是一个单列矩阵singleRow /= sum;}return src;
}

根据这个softmax把数学表达式写出来

ChatGPT:

Softmax函数是一种常用于多分类任务的激活函数，它能够将一个向量转换成概率分布。给定一个输入向量 $(\mathbf{z}=[z_1,z_2,\dots ,z_n])$，Softmax函数的输出是：

$$\text{softmax}(z_i)=\frac{e^{z_i}}{{\sum }_{j=1}^n{e}^{z_j}}$$

这个函数将输入向量中的每个元素 $z_i$转换为一个非负数，并且这些非负数的总和为1。

对于你的代码，假设输入矩阵 $\mathbf{X}$ 有 $m$ 行和 $n$ 列。代码的每一步操作可以用数学表达式表示如下：

1. 取每一行的最大值并减去它：
   对于矩阵 $\mathbf{X}$ 的第 $i$ 行 ${\mathbf{x}}_i$，找到最大值 $\max ({\mathbf{x}}_i)$ 并减去它，用公式表示为：
   $${\mathbf{x}}_i^{\prime }={\mathbf{x}}_i-\max ({\mathbf{x}}_i)$$

2. 对每个元素取指数：
   对于每个元素 ${\mathbf{x}}_{ij}^{\prime }$（第 $i$ 行第 $j$ 列的元素），取指数：
   $${\mathbf{y}}_{ij}=e^{{\mathbf{x}}_{ij}^{\prime }}$$

3. 计算每一行的元素和：
   对于第 $i$ 行，计算所有元素的和：
   $$S_i=\sum _{j=1}^n{\mathbf{y}}_{ij}$$

4. 每一行的元素除以该行的和：
   对于第 $i$ 行的每个元素，除以该行的和 $S_i$：
   $${\mathbf{z}}_{ij}=\frac{{\mathbf{y}}_{ij}}{S_i}$$

综合起来，对于矩阵 $\mathbf{X}$ 中的每一行 ${\mathbf{x}}_i$，Softmax函数的数学表达式是：

$$\text{softmax}({\mathbf{x}}_i)=\left[\frac{e^{x_{i1}-\max ({\mathbf{x}}_i)}}{{\sum }_{j=1}^n{e}^{x_{ij}-\max ({\mathbf{x}}_i)}},\frac{e^{x_{i2}-\max ({\mathbf{x}}_i)}}{{\sum }_{j=1}^n{e}^{x_{ij}-\max ({\mathbf{x}}_i)}},\dots ,\frac{e^{x_{in}-\max ({\mathbf{x}}_i)}}{{\sum }_{j=1}^n{e}^{x_{ij}-\max ({\mathbf{x}}_i)}}\right]$$

用户:

代码里的函数是不是比原始的softmax多了一个减去最大值的操作？有什么好处？

ChatGPT:

在计算Softmax之前，先减去了每一行的最大值。这一步操作在数学上可以写作：

$${\mathbf{x}}^{\prime }=\mathbf{x}-\max (\mathbf{x})$$

然后再计算Softmax：

$$\text{softmax}({\mathbf{x}}^{\prime })=\frac{e^{{\mathbf{x}}^{\prime }}}{{\sum }_j{e}^{{\mathbf{x}}_j^{\prime }}}$$

这种做法的好处主要有以下几个方面：

1. 防止数值溢出

在计算Softmax时，直接计算 $e^{{\mathbf{x}}_i}$ 可能会导致数值溢出（尤其是当 ${\mathbf{x}}_i$ 中的某些值很大时）。例如，如果 ${\mathbf{x}}_i$ 中有一个值是1000，那么 $e^{1000}$ 会非常大，超出浮点数的表示范围，导致数值溢出错误。

通过减去最大值 $\max (\mathbf{x})$，可以将所有的指数计算稳定在一个合理的范围内，从而避免数值溢出的问题。例如，如果 ${\mathbf{x}}_i$ 的最大值是1000，那么减去1000后，最大的指数计算变成 $e^0=1$，这在数值上是安全的。

2. 稳定数值计算

减去最大值还可以提高数值计算的稳定性。即使在没有溢出的情况下，直接计算 $e^{{\mathbf{x}}_i}$ 也可能导致非常小的数值，从而在浮点数运算中引入较大的误差。通过减去最大值，可以使得计算保持在一个更稳定的数值范围内。

3. 保持结果不变

减去最大值并不会改变Softmax的结果。这是因为Softmax函数的输出是一个概率分布，归一化后总和为1：

$$\text{softmax}(\mathbf{x})=\frac{e^{{\mathbf{x}}_i}}{{\sum }_j{e}^{{\mathbf{x}}_j}}$$

减去一个常数 $C$ 后，Softmax的计算变为：

$$\text{softmax}(\mathbf{x}-C)=\frac{e^{{\mathbf{x}}_i-C}}{{\sum }_j{e}^{{\mathbf{x}}_j-C}}=\frac{e^{{\mathbf{x}}_i}\cdot e^{-C}}{{\sum }_j{e}^{{\mathbf{x}}_j}\cdot e^{-C}}=\frac{e^{{\mathbf{x}}_i}}{{\sum }_j{e}^{{\mathbf{x}}_j}}$$

可以看到，分子和分母同时乘以 $e^{-C}$ 后，结果并没有改变。

因此，减去最大值的操作不仅提高了数值计算的稳定性和安全性，还不会影响Softmax函数的最终结果。

用户:

深度学习中，值分布得太分散，经过softmax后使得输出更靠近0或1，为什么会导致梯度比较小？

ChatGPT:

在深度学习中，值分布得太分散，经过Softmax后使得输出更靠近0或1，这种现象称为“输出饱和”。输出饱和会导致梯度比较小，原因主要可以从梯度的计算公式和数值稳定性两个方面来理解。

1. 梯度计算公式

对于Softmax函数，假设输入向量为 $\mathbf{z}=[z_1,z_2,\dots ,z_n]$，Softmax输出为 $\mathbf{y}=[y_1,y_2,\dots ,y_n]$，其中

$$y_i=\frac{e^{z_i}}{{\sum }_{j=1}^n{e}^{z_j}}$$

在反向传播中，损失函数 $L$ 对输入 $\mathbf{z}$ 的梯度可以表示为：

$$\frac{\partial L}{\partial z_i}=\sum _{j=1}^n\frac{\partial L}{\partial y_j}\frac{\partial y_j}{\partial z_i}$$

其中，Softmax的导数 $\frac{\partial y_j}{\partial z_i}$ 可以表示为：

$$\frac{\partial y_j}{\partial z_i}=y_j({\delta }_{ij}-y_i)$$

其中 ${\delta }_{ij}$ 是Kronecker delta函数，当 $i=j$ 时为1，否则为0。

因此，梯度 $\frac{\partial L}{\partial z_i}$ 可以进一步展开为：

$$\frac{\partial L}{\partial z_i}=y_i\left(\frac{\partial L}{\partial y_i}-\sum _{j=1}^n{y}_j\frac{\partial L}{\partial y_j}\right)$$

2. 梯度变小的原因

当Softmax输出 $\mathbf{y}$ 非常接近0或1时，意味着输入 $\mathbf{z}$ 的值分布非常分散（即有一个或几个值远大于其他值）。这种情况下，Softmax函数会导致以下问题：

• 对于接近1的输出：假设某个输出 $y_k\approx 1$，那么其他输出 $y_i\approx 0$（对于 $i\ne k$）。此时，$\frac{\partial y_k}{\partial z_i}$ 和 $\frac{\partial y_i}{\partial z_k}$ 的值都非常小，因为 $y_i(1-y_i)$ 和 $y_k(1-y_k)$ 都接近0。
• 对于接近0的输出：类似地，$\frac{\partial y_i}{\partial z_i}$ 和 $\frac{\partial y_i}{\partial z_j}$ 的值也会非常小。

这种情况下，梯度的数值会非常小，导致反向传播时梯度更新的步长很小，从而使得网络的参数更新变得非常缓慢。这种现象被称为“梯度消失”。

3. 数值稳定性

当输入值分布非常分散时，Softmax的指数计算会导致数值不稳定。即使在减去最大值后，仍然可能会出现数值精度问题，进一步导致梯度计算的不稳定性和减小。

总结

• 输出饱和：Softmax输出接近0或1时，梯度 $\frac{\partial y_i}{\partial z_i}$ 和 $\frac{\partial y_j}{\partial z_i}$ 都会变得非常小。
• 梯度消失：梯度变小导致反向传播时参数更新的步长变小，训练过程变得缓慢。
• 数值稳定性：输入值分布分散会导致数值计算不稳定，进一步影响梯度的计算。

为了缓解这种问题，可以使用一些技术，如Batch Normalization、Gradient Clipping等，或者在网络结构设计时避免过深的网络层数。

用户:

Transformer中的注意力机制，采用了缩放因子来避免梯度消失问题。

ChatGPT:

是的，Transformer中的注意力机制采用了缩放因子来避免梯度消失问题。具体来说，这个缩放因子是用于计算点积注意力（Scaled Dot-Product Attention）中的。

点积注意力

在Transformer模型中，点积注意力的计算公式为：

$$\text{Attention}(Q,K,V)=\text{softmax}\left(\frac{Q{K}^T}{\sqrt{d_k}}\right)V$$

其中：

• (Q) 是查询矩阵（Query）
• (K) 是键矩阵（Key）
• (V) 是值矩阵（Value）
• (d_k) 是键向量的维度

缩放因子

在上面的公式中，$\frac{1}{\sqrt{d_k}}$ 就是缩放因子。这个因子的引入有以下几个目的：

1. 防止点积值过大

点积 $Q{K}^T$ 的值会随着向量维度 $d_k$ 的增加而变大。假设查询和键向量的每个元素都是独立同分布的随机变量，且其均值为0，方差为1，那么点积的期望值和方差都会随维度 $d_k$ 增大。

2. 缩放避免Softmax函数的梯度消失

如果不进行缩放，点积 $Q{K}^T$ 的值可能会非常大，导致Softmax函数的输出接近于0或1。这种情况下，Softmax函数的梯度会变得非常小，导致梯度消失问题。

通过引入缩放因子 $\frac{1}{\sqrt{d_k}}$，可以将点积的值缩小到一个较为合理的范围内，从而使得Softmax函数的输出更加平滑，梯度也更加稳定。

数学解释

假设查询和键向量的元素都是均值为0，方差为1的独立同分布随机变量，那么点积 $Q{K}^T$ 的期望为0，方差为 $d_k$。为了使点积的方差保持在一个较为稳定的范围内，我们将其除以 $\sqrt{d_k}$，这样点积的方差就变为1：

$$\frac{Q{K}^T}{\sqrt{d_k}}$$

这样可以确保Softmax函数的输入值不会过大或过小，从而使其输出更加平滑，梯度更加稳定。

总结

在Transformer的注意力机制中，引入缩放因子 $\frac{1}{\sqrt{d_k}}$ 的主要目的是：

1. 防止点积值过大，导致数值不稳定。
2. 避免Softmax函数输出接近0或1，防止梯度消失问题。

通过这种方法，可以提高注意力机制的数值稳定性，确保模型在训练过程中梯度的有效传播。