【数据结构和算法】时间复杂度和空间复杂度

时间复杂度

时间复杂度是算法效率的一个重要指标，它描述了算法运行时间与输入数据量之间的关系，给出了算法运行时间的上界估计。

时间复杂度主要关注算法中基本操作的执行次数，特别是当输入规模（通常用n表示）增大时，这些操作次数的增长趋势。在表达式中，只要高阶项，不要低阶项，也不要高阶项的系数，剩下的部分如果为f(N)，那么时间复杂度为O(f(N))。算法的时间复杂度通常为最坏情况下的时间复杂度。下面通过几个例子来说明如何计算时间复杂度：

常数时间复杂度O(1)：一个操作如果和样本的数据量没有关系，每次都是固定时间内完成的操作，叫做常数操作。这些操作的时间复杂度被标记为 O(1)。例如赋值操作x=1，不论给x赋值为多少，这个操作的时间都不变。
线性时间复杂度O(n)：
```
def linear_time_example(arr):result = 0for i in range(len(arr)):result += arr[i]return result
```
这个函数遍历数组arr的每一个元素并求和。如果数组长度为n，则循环将执行n次，因此时间复杂度为O(n)O(n)。
平方时间复杂度 O(n^2)
```
def quadratic_time_example(matrix):result = 0for i in range(len(matrix)):for j in range(len(matrix[i])):result += matrix[i][j]return result
```
在这个例子中，我们有两个嵌套循环，它们都依赖于矩阵的行数（假设矩阵为方阵）。每个循环都将执行n次，所以总的操作次数为n×n=n^{2，因此时间复杂度为O(n}2)。

对数时间复杂度O(logn)

def binary_search(arr, target):low, high = 0, len(arr) - 1while low <= high:mid = (low + high) // 2if arr[mid] == target:return midelif arr[mid] < target:low = mid + 1else:high = mid - 1return -1

上述代码为二分查找实现，每次迭代，搜索范围都会减半，因此操作次数与输入大小的对数成比例，即时间复杂度为O(log⁡n)。

线性对数时间复杂度O(nlogn)

归并排序是一个典型的O(nlog⁡n)算法。它将数组分为两半，递归地排序每一半，然后合并两个有序的部分。虽然每个递归调用的时间复杂度为O(n)，但由于递归深度为log⁡n，总的时间复杂度为O(nlog⁡n)。

评价一个算法流程的好坏，先看时间复杂度的指标，然后再分析不同数据样本下的实际运行时间，也就是“常数项时间”。

空间复杂度

空间复杂度是衡量算法在运行过程中所需存储空间的一个指标。它描述了算法消耗的内存与输入数据量之间的关系，通常也使用大O符号（Big O notation）来表示。空间复杂度分析包括了算法运行时临时占用的额外空间，但不包括输入数据本身占用的空间（除非算法需要复制输入数据）。

以下是一些常见的空间复杂度类别：

常数空间复杂度 - O(1)：算法所需的额外空间不随输入数据量的增加而改变。例如，一个简单的函数，仅使用几个变量进行计算，无论输入数据多大，所占空间都是固定的。
线性空间复杂度 - O(n)：算法所需的额外空间直接与输入数据量成正比。例如，在排序算法中，如果需要创建一个与输入数组同样大小的新数组，则空间复杂度为O(n)。
对数空间复杂度 - O(log⁡n)：这种空间复杂度较少见，通常发生在使用分治策略的算法中，如一些递归算法，它们可能只需要存储输入数据的层次结构，而非全部数据。
平方空间复杂度 - O(n2)：如果算法需要创建一个二维数组，且每个维度的大小都与输入数据量相关，那么空间复杂度可能是O(n2)。
递归算法的空间复杂度：递归算法的空间复杂度通常由递归调用栈的深度决定。例如，二叉树的前序遍历在最坏情况下可能需要O(n)的空间，因为递归调用栈的深度可能达到树的高度。

空间复杂度中最常见的就是O(1)和O(n)。理解空间复杂度对于优化算法和系统设计非常重要，特别是在资源受限的环境中，如嵌入式系统或移动设备。有时候，为了节省空间，可能需要牺牲时间效率，反之亦然。因此，在实际应用中，经常需要在时间和空间之间做出权衡。