算法训练 | 动态规划Part12 | 115.不同的子序列、72. 编辑距离

115.不同的子序列

72.编辑距离 ⭐

115.不同的子序列

题目链接：115. 不同的子序列 - 力扣（LeetCode）
文章讲解：代码随想录

动态规划法

解题思路
- 这道题目如果不是子序列，而是要求连续序列的，那就可以考虑用KMP。这道题目相对于72. 编辑距离，简单了不少，因为本题相当于只有删除操作，不用考虑替换增加之类的。但相对于动态规划：392.判断子序列 (opens new window)就有难度了
解题步骤

当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时，dp[i][j]可以有两部分组成。一部分是用s[i - 1]来匹配，那么个数为dp[i - 1][j - 1]。即不需要考虑当前s子串和t子串的最后一位字母，所以只需要 dp[i-1][j-1]。一部分是不用s[i - 1]来匹配，个数为dp[i - 1][j]。所以当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];

当s[i - 1] 与 t[j - 1]不相等时，dp[i][j]只有一部分组成，不用s[i - 1]来匹配（就是模拟在s中删除这个元素），即：dp[i - 1][j]。所以递推公式为：dp[i][j] = dp[i - 1][j];
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义：dp[i][j]：以i-1为结尾的s子序列中出现以j-1为结尾的t的个数为dp[i][j]。
- 确定递推公式
  - s[i - 1] 与 t[j - 1]相等
  - s[i - 1] 与 t[j - 1] 不相等
- dp数组如何初始化：从递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]; 和 dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 中可以看出dp[i][j] 是从上方和左上方推导而来，如图：，那么 dp[i][0] 和dp[0][j]是一定要初始化的。那么dp[i][0]一定都是1，因为也就是把以i-1为结尾的s，删除所有元素，出现空字符串的个数就是1。dp[0][j]，dp[0][j]：空字符串s可以随便删除元素，出现以j-1为结尾的字符串t的个数。dp[0][j]一定都是0，s如论如何也变成不了t。最后就要看一个特殊位置了，dp[0][0]应该是1，空字符串s，可以删除0个元素，变成空字符串t。
- 确定遍历顺序：从递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]; 和 dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 中可以看出dp[i][j]都是根据左上方和正上方推出来的。所以遍历的时候一定是从上到下，从左到右，这样保证dp[i][j]可以根据之前计算出来的数值进行计算。
- 举例推导dp数组：
代码一：动态规划

class Solution {
public:int numDistinct(string s, string t) {vector<vector<uint64_t>> dp(s.size() + 1, vector<uint64_t>(t.size() + 1));for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][0] = 1;for (int j = 1; j < t.size(); j++) dp[0][j] = 0;for (int i = 1; i <= s.size(); i++) {for (int j = 1; j <= t.size(); j++) {if (s[i - 1] == t[j - 1]) {dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];} else {dp[i][j] = dp[i - 1][j];}}}return dp[s.size()][t.size()];}
};

72.编辑距离 ⭐

题目链接：72. 编辑距离 - 力扣（LeetCode）
文章讲解：代码随想录

动态规划法

解题思路
- 编辑距离是用动规来解决的经典题目，这道题目看上去好像很复杂，但用动规可以很巧妙的算出最少编辑距离。
解题步骤
在整个动规的过程中，最为关键就是正确理解dp[i][j]的定义！if (word1[i - 1] != word2[j - 1])，此时就需要编辑了
- 操作一：word1删除一个元素，那么就是以下标i - 2为结尾的word1 与 j-1为结尾的word2的最近编辑距离再加上一个操作。即 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1;
- 操作二：word2删除一个元素，那么就是以下标i - 1为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离再加上一个操作。即 dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1;
- 操作三：替换元素，word1替换word1[i - 1]，使其与word2[j - 1]相同，此时不用增删加元素。
综上，当 if (word1[i - 1] != word2[j - 1]) 时取最小的，即：dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义：dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]。
  - if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) 那么说明不用任何编辑，dp[i][j] 就应该是 dp[i - 1][j - 1]，即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相等了，那么就不用编辑了，以下标i-2为结尾的字符串word1和以下标j-2为结尾的字符串word2的最近编辑距离dp[i - 1][j - 1]就是 dp[i][j]了。
- dp数组如何初始化：再回顾一下dp[i][j]的定义：dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]。dp[i][0] ：以下标i-1为结尾的字符串word1，和空字符串word2，最近编辑距离为dp[i][0]。那么dp[i][0]就应该是i，对word1里的元素全部做删除操作，即：dp[i][0] = i;同理dp[0][j] = j;
- 确定遍历顺序
  从如下四个递推公式：
  - dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
  - dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
  - dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1
  - dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1
- 举例推导dp数组：
代码一：动态规划

class Solution {
public:int minDistance(string word1, string word2) {vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector<int>(word2.size() + 1, 0));for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;for (int j = 0; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];}else {dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;}}}return dp[word1.size()][word2.size()];}
};