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前言

学无止境，笔勤不辍。很久没有更新算法专栏了…笔者终于找到时间来更新了。今天，笔者给大家分享一下三种求解递归式的时间复杂度的方法，希望能与大家一起学习进步！！！

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简单补充一下 递归式的定义，递归式由两部分组成：1.结束条件 2.递归体

这个递归式的解是 T(n) = O(N *lg N)

一、代换法

先猜测有某个界存在，然后利用数学归纳法，证明猜想的正确性。
步骤：
1.猜测解的形式
2.用数学归纳法找出能让这个时间复杂度解有效的常数
下面给一个例子：

求T(n)=2T(⌊n/2⌋)+n 的时间复杂度
猜其解为T (n) = O(n lg n)
存在常数c使得T (n) ≤ cn lg n
假设⌊n/2⌋时式子成立，即 T(⌊n/2⌋)≤ c ⌊n/2⌋lg(⌊n/2⌋成立
此时，T(n)≤ 2(c ⌊n/2⌋lg(⌊n/2⌋)) + n
≤ cn lg(n/2) + n
=cn lg n - cn lg 2 + n
=cn lg n - cn + n
≤ cn lg n
当1≤ c时，最后一步成立，即证明成功
这里的lg是以2为底的
`不过这里要考虑一下边界条件，n>=2的时候是成立的，但是n=1时，是有问题的 因为 T(1)=1 but cn lg 1 = 0`

这里证明时，可能会遇到：是同一数量级，但是有低阶项多出，方法是：证明猜想时，减去一个低阶项。

二、递归树法

将递归式转换成树形结构，树中的节点代表在不同递归层次付出的代价，最后利用对和式限界的技术来解出递归式（最终求和求解)
递归树是一种得到好猜测的直接方法
通常可以容忍小量的不良量
给出例子：
求解 T (n) = 3T (⌊n/4⌋) + Θ(n2)

值得注意的是，该树的所有结点的和是T（n）
之后的证明运用代换法（数学归纳法）
递归树法是用来找寻一个近似的合适解的方法

三.主方法

给出递归形式T(n)=aT(n/b)+f(n)的界，其中a≥1，b>1，f(n)是给定的函数。通过定义求解递归式的可靠猜测解

设a ≥ 1 和 b > 1 是常数，设 f (n) 为一函数
T(n) = aT(n/b) + f(n)有这种形式
对非负整数，其中 n/b 指⌊n/b⌋ 或 ⌈n/b⌉。那么 T (n)
可能有如下的渐近界（近似解）

给出例子：

T (n) = T (2n/3) + 1
a = 1, b = 3/2, f (n) = 1
适合第二种情况，所以T(n) = Θ(lg n)

之后的证明运用代换法（数学归纳法）

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总结

以上就是今天要讲的内容，本文粗略介绍了三种求递归式时间复杂度的方法，后续笔者会更改精修。今天的内容就分享到这里了，希望能给大家一些帮助，教室要关门了，笔者再不走就要被关起来了，后续笔者也会定期更新内容，坚持学习… 再重复一遍口号：学无止境，笔勤不辍!