笔记：能量谱密度与功率谱密度（二）

一、ESD与PSD的定义、单位、性质

二、对ESD与PSD的直观理解

三、总结：

某物理量的“分布”在离散系统中，各点(纵坐标含义）的物理意义仍然是该物理量，而在连续系统中，各点（纵坐标含义）的物理意义而是另一种物理量了。比如说：在连续系统中，“能量”在频域空间的分布，每一个点的含义为功率；而在离散系统中，“能量”在频域空间的分布，每一个点的含义仍然是能量。

功率谱密度函数是不是功率在频域上的概率密度函数？它究竟是怎么定义出来的？它的物理意义是什么？它到底有什么用？为什么还有个能量谱密度？为什么信号幅值的平方是能量？

本文将通过记录笔者在学习过程中的一些个人心得，对上述疑问做出解答。

一、ESD与PSD的定义、单位、性质

下面先看标准的定义：

能量谱密度（Energy Spectral Density, ESD）和功率谱密度（Power Spectral Density, PSD）是信号分析中两个重要的概念，它们分别描述了能量信号和功率信号在频域中的能量或功率分布特性。

关于能量信号和功率信号在笔者之前的博客中有介绍。

能量谱密度（ESD）

定义：能量谱密度描述了能量信号在频率域中的能量分布。一个能量信号是指在有限时间区间内能量总和有限的信号。能量谱密度通过信号的傅里叶变换求得，它表征了信号能量在各个频率成分上的分布情况。

单位：能量谱密度的单位通常是能量单位除以频率单位的平方，如焦耳/Hz（J/Hz）。

性质：对于能量信号，其在整个频率轴上的能量谱密度曲线下的面积总和等于信号的总能量。这意味着能量谱密度在理论上是连续的，并且在无限频率范围内积分结果有限。

功率谱密度（PSD）

定义：功率谱密度描述了功率信号在频率域中的功率分布。功率信号是指在无限时间区间内平均功率有限的信号。功率谱密度反映了单位频率带宽内信号的平均功率。

单位：功率谱密度的单位是功率单位除以频率单位，常见的单位有瓦特/Hz（W/Hz）。

性质：功率谱密度对于功率信号而言，是其在各个频率分量上的功率分布情况。与能量信号不同，功率信号的功率谱密度在整个频率范围内积分的结果是信号的平均功率，而不是总能量。对于周期信号，功率谱通常呈现离散的谱线；而对于随机信号，功率谱则是连续的。

计算：功率谱密度可以通过信号的自相关函数的傅里叶变换得到，或者在实际应用中，通过估计信号的样本自相关函数并进行相应的处理来近似计算。

二、对ESD与PSD的直观理解

基于上述定义，可以理解是：ESD是能量对于频率的密度分布（因为单位是kJ/Hz），而PSD是功率对于频率的密度分布（因为单位是kW/Hz）。但是这样并不能解释为什么书里的能量信号幅值平方为什么等于能量，为什么功率信号还要对幅值平方除以T。

笔者在学习过程中有另一种理解方式，回答了上述的问题。

PSD的全称我认为应该是功率信号在频域中的谱密度函数，ESD的全称为能量信号在频域中的谱密度函数。而不是功率的密度函数，能量的密度函数。谱密度的含义为能量在频域下的“功率”的叫法。

“功率谱”是频域空间里的“功率”，下图说明它与功率之间的关系。

实际应用中，我们需要处理的信号很多是功率信号，功率信号在如广播信号、随机信号，他们在无限的时间区间上积分能量是无限的，不能进行傅里叶变换，用ESD进行分析不太合适，所以就有了PSD。

对于信号幅值的平方而言，对于ESD和PSD有不同的含义：

对于ESD，将其理解为功率。有：

$G_x(f) = |S(f)|^2$

对于PSD，将其理解为能量。有：

$P_x(f) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} |S(f)|^2$

下面是它们的关系图：

为了直观理解不同信号幅值平方的含义，就以脉冲信号（能量信号）与正弦信号（功率信号）举例子。对于脉冲信号，其在频域上各点是连续的；而对于正弦信号，其在频域上各点是离散的。对于连续的系统而言，在频域中每个点的纵坐标的含义为“功率”（即谱密度）；对于离散系统而言，在频域中每个点的纵坐标的含义为“能量”，离散系统上的能量是一份一份的，叠加起来（所谓的面积）还是能量。虽然这种解释不严谨（因为功率信号在频域里也可以是连续的），但是这样就能明白为什么功率信号的幅值平方的物理含义为什么是能量，而能量信号的幅值平方的物理含义为什么是功率了。

说句题外话，写到这，笔者联想到了当初学概率论时的“频率”概念。那个是指事件发生的频率，而这里是信号的频率，对于概率密度函数，纵坐标是概率（频率），它们是不是可以进行类比。

三、总结：

最后进行总结：

信号类型：能量谱密度对应于能量信号，而功率谱密度对应于功率信号。
能量/功率分布：能量信号的能量在所有频率上分布，能量谱密度在整个频率轴上的积分给出总能量；功率信号的功率在单位频带内分布，功率谱密度的积分给出平均功率。为了方便理解，将图像上的面积都理解为能量，将单位频率上的面积理解为功率（谱密度）。
积分结果：能量信号的频谱积分得到的是有限能量；功率信号的频谱积分在有限带宽内得到的是该带宽内的平均功率。
连续性：理论上，能量信号的频谱是连续的，而功率信号的频谱可以是连续的（如噪声）也可以包含离散谱线（如纯音或周期信号）。

能量谱密度和功率谱密度在信号分析、通信系统设计、故障诊断、以及众多科学研究领域中有着广泛的应用，是理解和分析信号特性的关键工具。后续笔者会对ESD和PSD做进一步探讨。