二叉树理论和题目

二叉树的种类

在我们解题过程中二叉树有两种主要的形：满二叉树和完全二叉树。

满二叉树

满二叉树：如果一棵二叉树只有度为0的结点和度为 2 的结点，并且度为 0 的结点在同一层上，则这棵二叉树为满二叉树。

这棵二叉树为满二叉树，也可以说深度为 k，有2^k-1个节点的二叉树。

完全二叉树

完全二叉树的定义如下：在完全二叉树中，除了最底层节点可能没填满外，其余每层节点数都达到最大值，并且最下面一层的节点都集中在该层最左边的若干位置。若最底层为第h层（h从1开始），则该层包含1~ 2^(h-1)个节点。

二叉搜索树

前⾯介绍的树，都没有数值的，而二叉搜索树是有数值的了，二叉搜索树是⼀个有序树。

若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；

若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；

它的左、右子树也分别为二叉排序树

二叉树的存储方式

链式存储

顺序存储

如果父节点的数组下标是 i，那么它的左孩子就是 i * 2 + 1，右孩⼦就是 i * 2 + 2。

二叉树的遍历方式

二叉树的递归顺序

二叉树的迭代遍历

前序遍历

前序遍历是中左右，每次先处理的是中间节点，那么先将根节点放入栈中，然后将右孩子加入栈，再加入左孩子。

为什么要先加入右孩子，再加入左孩子呢？因为这样出栈的时候才是中左右的顺序。

中序遍历

分析一下为什么刚刚写的前序遍历的代码，不能和中序遍历通用呢，因为前序遍历的顺序是中左右，先访问的元素是中间节点，要处理的元素也是中间节点，所以刚刚才能写出相对简洁的代码，因为要访问的元素和要处理的元素顺序是一致的，都是中间节点。

那么再看看中序遍历，中序遍历是左中右，先访问的是二叉树顶部的节点，然后一层一层向下访问，直到到达树左面的最底部，再开始处理节点（也就是在把节点的数值放进result数组中），这就造成了处理顺序和访问顺序是不一致的。

那么在使用迭代法写中序遍历，就需要借用指针的遍历来帮助访问节点，栈则用来处理节点上的元素。

后序遍历

叉树层序遍历

需要借用一个辅助数据结构即队列来实现，队列先进先出，符合一层一层遍历的逻辑，而用栈先进后出适合模拟深度优先遍历也就是递归的逻辑。

题目一

这是二叉搜索树吗？

代码：

# include <stdio.h>struct node
{int val;struct node * left;struct node * right;
};int n;
int num[1000];int treemade(int l, int r, struct node* root)//二叉搜索树
{if (l > r)return 1;int stand = num[l];int help = l + 1;while (help < r && num[help] < stand)help++;int mid = help;while (help < r && num[help] >= stand)help++;if (help < r )//若大与小与部分拼不成一个完整序列，则说明不符合return 0;root = (struct node*) malloc(sizeof(struct node));root->val = num[l];root->left = NULL;root->right = NULL;return (treemade(l+1, mid-1, root->left) && treemade(mid, r, root->right));}void cmp(struct node* root, int cnt)
{if (root->left != NULL)cmp(root->left, cnt+1);if (root->right != NULL);cmp(root->right, cnt+1);if (cnt == 0)  //特判printf("%d", root->val);elseprintf("%d ", root->val);
}int main()
{scanf("%d", &n);for (int i=0; i<n; ++i)scanf("%d");struct node* root;root = NULL;if (treemade(0, n, root));//判断能否建成二叉搜索树{printf("YES\n");cmp(root);}}

题目二

解题

在后序遍历序列中，根节点总是在最后一个位置，而在中序遍历序列中，根节点将序列分为左右两部分，分别对应左子树和右子树。

因此，我们可以利用两个数组的信息，递归构建二叉树，然后再进行层序遍历。

# include <stdio.h>
int n;
int num1[31];
int num2[31];struct node
{int val;struct node* left;struct node* right;
};void treemade(int l, int r, struct node* root, int k)
{int flag = 0;if (k < 0)return;int help = num1[k];int mid;for (int i=l; i<=r; ++i){if (num[i] == help){mid = i;flag = 1;break;}}if (flag == 1){root = (struct node*)malloc(sizeof(struct node));root->val = help;root->left = NULL;root->right = NULL;	treemade(l, mid-1, root->left, k-1);treemade(mid+1, r, root->right, k-1);}else{treemade(l, r, root, k-1);}
}int main()
{scanf("%d", &n);for (int i=0; i<n; ++i)scanf("%d", &num1[i]);for (int i=0; i<n; ++i)scanf("%d", &num2[i]);int k = n-1;struct node* root = NULL;}