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1. 逆元的引入

在计算欧拉函数时，如果 (n) 是质数，那么 (\phi(n) = n - 1)，这是直接的结果。然而，当 (n) 是合数时，我们需要处理分母中的质因数 (p_i)。

为了高效计算 (\phi(n))，尤其是在编程实现中，我们可以利用 模逆元 来处理分母中的 (p_i)。这是因为在模运算中，除法需要通过乘法逆元来实现。

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2. 模逆元的定义

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3. 欧拉函数公式中的逆元处理

1. 计算 (p_i) 的逆元：
   

2. 直接计算分数：
   

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4. 编程实现中的逆元处理

在编程实现中，如果我们需要在模 (M) 下计算欧拉函数（例如在密码学中），可以使用 扩展欧几里得算法 来计算逆元。

C++ 实现

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;// 扩展欧几里得算法求逆元
int extendedGCD(int a, int b, int &x, int &y) {if (a == 0) {x = 0;y = 1;return b;}int x1, y1;int gcd = extendedGCD(b % a, a, x1, y1);x = y1 - (b / a) * x1;y = x1;return gcd;
}// 计算 a 在模 m 下的逆元
int modInverse(int a, int m) {int x, y;int gcd = extendedGCD(a, m, x, y);if (gcd != 1) {return -1; // 逆元不存在} else {return (x % m + m) % m; // 确保结果为正}
}// 计算欧拉函数
int eulerPhi(int n) {int result = n;for (int p = 2; p * p <= n; p++) {if (n % p == 0) {while (n % p == 0) {n /= p;}result -= result / p;}}if (n > 1) {result -= result / n;}return result;
}int main() {int n = 10;cout << "Euler's Totient Function for n = " << n << ": " << eulerPhi(n) << endl;return 0;
}

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5. 总结

• 在欧拉函数的公式中，(\frac{1}{p_i}) 可以通过直接计算分数 (\frac{p_i - 1}{p_i}) 来处理。
• 如果需要模运算下的欧拉函数，可以使用扩展欧几里得算法计算逆元。
• 欧拉函数的计算在数论和密码学中有重要应用，例如 RSA 加密算法。