【动态规划】P6005 [USACO20JAN] Time is Mooney G|普及+

本文涉及知识点

P6005 [USACO20JAN] Time is Mooney G

题目描述

Bessie 正在安排前往牛尼亚的一次出差，那里有 $N$ （ $\leq N \leq 1000$ ）个编号为 $\ldots N$ 的城市，由 $M$ （ $\leq M \leq 2000$ ）条单向的道路连接。Bessie 每次访问城市 $i$ 都可以赚到 $m_i$ 哞尼（ $\leq m_i \leq 1000$ ）。从城市 $1$ 出发，Bessie 想要赚到尽可能多的哞尼，最后回到城市 $1$ 。为了避免争议， $m_1=0$ 。

沿着两个城市之间的道路移动需要消耗一天。出差的准备工作十分费钱；旅行 $T$ 天需要花费 $\times T^2$ 哞尼（ $\leq C \leq 1000$ ）。

Bessie 在一次出差中最多可以赚到多少哞尼？注意有可能最优方案是 Bessie 不访问城市 $1$ 之外的任何城市，在这种情况下结果应当为 $0$ 。

输入格式

输入的第一行包含三个整数 $N$ 、 $M$ 和 $C$ 。

第二行包含 $N$ 个整数 $m_1,m_2,\ldots, m_N$ 。

以下 $M$ 行每行包含两个空格分隔的整数 $a$ 和 $b$ （ $\neq b$ ），表示从城市 $a$ 到城市 $b$ 的一条单向道路。

输出格式

输出一行，包含所求的答案。

输入输出样例 #1

输入 #1

输出 #1

说明/提示

最优的旅行方案是 $\to 2 \to 3 \to 1 \to 2 \to 3 \to1$ 。Bessie 总共赚到了 $\times 6^2=24$ 哞尼。

动态规格

动态规划的状态表示

dp[t][j] 时间t在城市j，赚取的最大收益，最后统一扣掉成本。t $\in$ [0,1000] 大于1000天，利润必定为负，忽略。空间复杂度：O(1000n)。可以用滚动向量优化空间。

动态规划的填报顺序

枚举前置状态，t =0 < 1000，第二层循环枚举各边。

动态规划的转移方程

对于前置状态p,枚举所有边u,v MaxSelf(dp[t+1][v],dp[t][u]+mv)

动态规划的初始值

dp[0][0]=0，其它INT_MIN/2。

动态规划的返回值

dp[t][0]- Ctt的最大值，如果小于0，返回0。

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>#include <bitset>
using namespace std;template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {in >> pr.first >> pr.second;return in;
}template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);return in;
}template<class T = int>
vector<T> Read() {int n;cin >> n;vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {vector<T> ret;T tmp;while (cin >> tmp){ret.emplace_back(tmp);if ('\n' == cin.get()) { break; }} return ret;
}template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:COutBuff() {m_p = puffer;}template<class T>void write(T x) {int num[28], sp = 0;if (x < 0)*m_p++ = '-', x = -x;if (!x)*m_p++ = 48;while (x)num[++sp] = x % 10, x /= 10;while (sp)*m_p++ = num[sp--] + 48;AuotToFile();}void writestr(const char* sz) {strcpy(m_p, sz);m_p += strlen(sz);AuotToFile();}inline void write(char ch){*m_p++ = ch;AuotToFile();}inline void ToFile() {fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);m_p = puffer;}~COutBuff() {ToFile();}
private:inline void AuotToFile() {if (m_p - puffer > N - 100) {ToFile();}}char  puffer[N], * m_p;
};template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:inline CInBuff() {}inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {FileToBuf();ch = *S++;return *this;}inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {FileToBuf();int x(0), f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		return *this;}inline CInBuff& operator>>(long long& val) {FileToBuf();long long x(0); int f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行return *this;}template<class T1, class T2>inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {*this >> val.first >> val.second;return *this;}template<class T1, class T2, class T3>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);return *this;}template<class T1, class T2, class T3, class T4>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);return *this;}template<class T = int>inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {int n;*this >> n;val.resize(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> val[i];}return *this;}template<class T = int>vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> ret[i];}return ret;}template<class T = int>vector<T> Read() {vector<T> ret;*this >> ret;return ret;}
private:inline void FileToBuf() {const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);if (canRead >= 100) { return; }if (m_bFinish) { return; }for (int i = 0; i < canRead; i++){buffer[i] = S[i];//memcpy出错			}m_iWritePos = canRead;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }m_iWritePos += readCnt;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;}int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;char buffer[N + 10], * S = buffer;
};class KMP
{
public:virtual int Find(const string& s, const string& t){CalLen(t);for (int i1 = 0, j = 0; i1 < s.length(); ){for (; (j < t.length()) && (i1 + j < s.length()) && (s[i1 + j] == t[j]); j++);//i2 = i1 + j 此时s[i1,i2)和t[0,j)相等 s[i2]和t[j]不存在或相等//t[0,j)的结尾索引是j-1，所以最长公共前缀为m_vLen[j-1]，简写为y 则t[0,y)等于t[j-y,j)等于s[i2-y,i2)if (0 == j){i1++;continue;}const int i2 = i1 + j;j = m_vLen[j - 1];i1 = i2 - j;//i2不变}return -1;}//vector<int> m_vSameLen;//m_vSame[i]记录 s[i...]和t[0...]最长公共前缀，增加可调试性 部分m_vSameLen[i]会缺失//static vector<int> Next(const string& s)//{// j = vNext[i] 表示s[0,i]的最大公共前后缀是s[0,j]//	const int len = s.length();//	vector<int> vNext(len, -1);//	for (int i = 1; i < len; i++)//	{//		int next = vNext[i - 1];//		while ((-1 != next) && (s[next + 1] != s[i]))//		{//			next = vNext[next];//		}//		vNext[i] = next + (s[next + 1] == s[i]);//	}//	return vNext;//}const vector<int> CalLen(const string& str){m_vLen.resize(str.length());for (int i = 1; i < str.length(); i++){int next = m_vLen[i - 1];while (str[next] != str[i]){if (0 == next){break;}next = m_vLen[next - 1];}m_vLen[i] = next + (str[next] == str[i]);}return m_vLen;}
protected:int m_c;vector<int> m_vLen;//m_vLen[i] 表示str[0,i]的最长公共前后缀的长度
};class CUnionFind
{
public:CUnionFind(int iSize) :m_vNodeToRegion(iSize){for (int i = 0; i < iSize; i++){m_vNodeToRegion[i] = i;}m_iConnetRegionCount = iSize;}CUnionFind(vector<vector<int>>& vNeiBo) :CUnionFind(vNeiBo.size()){for (int i = 0; i < vNeiBo.size(); i++) {for (const auto& n : vNeiBo[i]) {Union(i, n);}}}int GetConnectRegionIndex(int iNode){int& iConnectNO = m_vNodeToRegion[iNode];if (iNode == iConnectNO){return iNode;}return iConnectNO = GetConnectRegionIndex(iConnectNO);}void Union(int iNode1, int iNode2){const int iConnectNO1 = GetConnectRegionIndex(iNode1);const int iConnectNO2 = GetConnectRegionIndex(iNode2);if (iConnectNO1 == iConnectNO2){return;}m_iConnetRegionCount--;if (iConnectNO1 > iConnectNO2){UnionConnect(iConnectNO1, iConnectNO2);}else{UnionConnect(iConnectNO2, iConnectNO1);}}bool IsConnect(int iNode1, int iNode2){return GetConnectRegionIndex(iNode1) == GetConnectRegionIndex(iNode2);}int GetConnetRegionCount()const{return m_iConnetRegionCount;}vector<int> GetNodeCountOfRegion()//各联通区域的节点数量{const int iNodeSize = m_vNodeToRegion.size();vector<int> vRet(iNodeSize);for (int i = 0; i < iNodeSize; i++){vRet[GetConnectRegionIndex(i)]++;}return vRet;}std::unordered_map<int, vector<int>> GetNodeOfRegion(){std::unordered_map<int, vector<int>> ret;const int iNodeSize = m_vNodeToRegion.size();for (int i = 0; i < iNodeSize; i++){ret[GetConnectRegionIndex(i)].emplace_back(i);}return ret;}
private:void UnionConnect(int iFrom, int iTo){m_vNodeToRegion[iFrom] = iTo;}vector<int> m_vNodeToRegion;//各点所在联通区域的索引,本联通区域任意一点的索引，为了增加可理解性，用最小索引int m_iConnetRegionCount;
};template<class INDEX_TYPE>
class CBinarySearch
{
public:CBinarySearch(INDEX_TYPE iMinIndex, INDEX_TYPE iMaxIndex, INDEX_TYPE tol = 1) :m_iMin(iMinIndex), m_iMax(iMaxIndex), m_iTol(tol) {}template<class _Pr>INDEX_TYPE FindFrist(_Pr pr){auto left = m_iMin - m_iTol;auto rightInclue = m_iMax;while (rightInclue - left > m_iTol){const auto mid = left + (rightInclue - left) / 2;if (pr(mid)){rightInclue = mid;}else{left = mid;}}return rightInclue;}template<class _Pr>INDEX_TYPE FindEnd(_Pr pr){INDEX_TYPE leftInclude = m_iMin;INDEX_TYPE right = m_iMax + m_iTol;while (right - leftInclude > m_iTol){const auto mid = leftInclude + (right - leftInclude) / 2;if (pr(mid)){leftInclude = mid;}else{right = mid;}}return leftInclude;}
protected:const INDEX_TYPE m_iMin, m_iMax, m_iTol;
};class Solution {
public:int Ans(const int C, vector<int>& vm, vector<pair<int, int>>& edge) {for (auto& [u, v] : edge) {u--, v--;}const int N = vm.size();int ans = 0;vector<int> pre(N, INT_MIN / 2);pre[0] = 0;const int T = 1000;for (int t = 0; t < T; t++) {vector<int> cur(N, INT_MIN / 2);for (const auto& [u, v] : edge) {cur[v] = max(cur[v], pre[u] + vm[v]);}ans = max(ans, cur[0] - C * (t + 1) * (t + 1));pre.swap(cur);}return ans;}
};int main() {
#ifdef _DEBUGfreopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	ios::sync_with_stdio(0);int n,m,C; cin >> n >> m>>C;auto vm = Read<int>(n);auto edge = Read<pair<int, int>>(m);
#ifdef _DEBUG		printf("C=%d", C);	Out(vm, ",vm=");Out(edge, "edge=");//Out(edge2, ",edge2=");/*Out(que, "que=");*/
#endif // DEBUG	auto res = Solution().Ans(C,vm,edge);cout << res << "\n";return 0;
}

单元测试

int C;vector<int> vm;vector<pair<int, int>> edge;TEST_METHOD(TestMethod1){C = 1, vm = { 0,10,20 },edge = { {1,2},{2,3},{3,1} };auto res = Solution().Ans(C, vm,edge);AssertEx(24, res);}

扩展阅读

我想对大家说的话
工作中遇到的问题，可以按类别查阅鄙人的算法文章，请点击《算法与数据汇总》。
学习算法：按章节学习《喜缺全书算法册》，大量的题目和测试用例，打包下载。重视操作
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子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
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https://edu.csdn.net/lecturer/6176

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。