洛谷 P3986 斐波那契数列

devtools/2025/3/19 22:29:29/

P3986 斐波那契数列

题目描述

定义一个数列：
$f (0) = a, f (1) = b, f (n) = f (n - 1) + f (n - 2)$

其中 a, b 均为正整数，n ≥ 2。

问有多少种 (a, b)，使得 k 出现在这个数列里，且不是前两项。

由于答案可能很大，你只需要输出答案模 10^9 + 7 的结果即可。

输入格式

一行一个整数 k。

输出格式

一行一个数，表示答案模 10^9 + 7的结果。

输入输出样例 1

输入 1

19260817

输出 1

34166325

输入输出样例 2

输入 2

1000000000

输出 2

773877569

说明/提示

1 ≤ k ≤ 10^9

EXP：

$针对于该函数数列中的数据分别为:a+b,a+2b,2a+3b,3a+5b即a,b的系数是斐波那契数列的数据。\\ 1≤k≤10^9,针对40项左右的斐波那契数就已经超过该范围，并且a,b都是正整数。所以可以遍历斐波那契数列判断a.\\ k = af[x-1] + bf[x]=>bf[x] = k - af[x-1]=>b=(k-af[x-1])/f[x]因为a,b正整数的缘故。\\ k-af[x-1]\equiv0(modf[x])=>k\equiv af[x-1](modf[x]),因为gcd(f[x],f[x-1])=1\\ a\equiv (k * f^{-1}[x-1](modf[x]))(modf[x])并且要保证b >0,即判断a<k/f[x-1]$

python"># coding: utf-8
MOD = 10 ** 9 + 7def gcd_extended(a,b):"""扩展欧几里得算法返回一个元组(d,x,y) 使得 d = gcd(a,b) = ax + by"""if a == 0:return (b,0,1)gcd , x1 , y1 = gcd_extended(b % a , a)x = y1 - (b // a) * x1y = x1return (gcd,x,y)def mod_inverse(a,m):"""求模逆元使用扩展欧几里得算法返回a在m下的逆元如果没有逆元返回None"""gcd, x, y = gcd_extended(a,m)if gcd != 1:return None # 如果a 和 m不互素else:return x % m # 返回逆元def matrix_mul(A, B):"""矩阵乘法"""return [[sum(a * b for a, b in zip(col, row)) for col in zip(*B)] for row in A]def matrix_pow(A, n):"""矩阵快速幂"""size_ = len(A)if n == 0:res = [[0 for _ in range(size_)] for _ in range(size_)]for i in range(size_):res[i][i] = 1elif n == 1:return Aelse:y = matrix_pow(A, n // 2)if n & 1:return matrix_mul(matrix_mul(y, y), A)return matrix_mul(y, y)K = int(input())
counter = 0
A = [[0, 1],[1, 1]
]
# 遍历前面的斐波那契数列
for i in range(2,42):temp = matrix_mul([[0,1]],matrix_pow(A,i - 1))f_x = temp[0][1]f_x_1 = temp[0][0]# 计算范围内最小的aa = (K * mod_inverse(f_x_1,f_x)) % f_x# 求取k / f[x-1]	由于向下取整，所以b > 0时要求是个足够大的正整数target = K // f_x_1 - 1if a < target:# 如果a = 0则a本身不在计算if a == 0:counter -= 1# 根据a的大小，加上a + k_counter * f[x] 的所有acounter = (counter + 1 + (target - a) // f_x) % MOD
print(counter)