神聖的綫性代數速成例題5. 矩陣運算的定義、轉置的性質、方陣多項式的概念

矩陣運算的定義（補充）：矩陣乘法：如前所述，設 $A=(a_{ij})$ 是 $m\times s$ 矩陣， $B=(b_{ij})$ 是 $s\times n$ 矩陣，乘積 $AB$ 的 $(i,j)$ 元 $c_{ij}=\sum_{k = 1}^{s}a_{ik}b_{kj}$ ， $AB$ 是 $m\times n$ 矩陣。
轉置的性質：若 $A$ 是矩陣，則 $(A^T)^T = A$ 。 $(A + B)^T = A^T + B^T$ ，其中 $A$ 和 $B$ 是同型矩陣。 $(kA)^T = kA^T$ ， $k$ 為數。 $(AB)^T = B^TA^T$ ，其中 $A$ 是 $m\times s$ 矩陣， $B$ 是 $s\times n$ 矩陣。
方陣多項式的概念：設 $A$ 是 $n$ 階方陣， $f(x)=a_mx^m+\cdots+a_1x + a_0$ 是一個多項式，則 $f(A)=a_mA^m+\cdots+a_1A + a_0I$ ，其中 $I$ 是 $n$ 階單位矩陣。

例題解析：

1.已知 $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ ，求 $A^T$ ，並驗證 $(A^T)^T = A$ 。

解： $A^T=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}$ 。

再求 $(A^T)^T$ ， $(A^T)^T=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=A$ 。

2.已知 $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ ， $B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}$ ，求 $(A + B)^T$ ，並驗證 $(A + B)^T = A^T + B^T$ 。

解： $A + B=\begin{pmatrix}1 + 5&2+6\\3 + 7&4+8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&8\\10&12\end{pmatrix}$ ， $(A + B)^T=\begin{pmatrix}6&10\\8&12\end{pmatrix}$ 。

$A^T=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}$ ， $B^T=\begin{pmatrix}5&7\\6&8\end{pmatrix}$ ， $A^T + B^T=\begin{pmatrix}1+5&3 + 7\\2+6&4+8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&10\\8&12\end{pmatrix}$ ，所以 $(A + B)^T = A^T + B^T$ 。

3.已知 $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ ， $k = 3$ ，求 $(kA)^T$ ，並驗證 $(kA)^T = kA^T$ 。

解： $kA = 3\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&6\\9&12\end{pmatrix}$ ， $(kA)^T=\begin{pmatrix}3&9\\6&12\end{pmatrix}$ 。

$A^T=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}$ ， $kA^T = 3\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&9\\6&12\end{pmatrix}$ ，所以 $(kA)^T = kA^T$ 。

4.已知 $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ ， $B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}$ ，求 $(AB)^T$ ，並驗證 $(AB)^T = B^TA^T$ 。

解： $AB=\begin{pmatrix}1\times5+2\times7&1\times6 + 2\times8\\3\times5+4\times7&3\times6+4\times8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}$ ， $(AB)^T=\begin{pmatrix}19&43\\22&50\end{pmatrix}$ 。

$A^T=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}$ ， $B^T=\begin{pmatrix}5&7\\6&8\end{pmatrix}$ ， $B^TA^T=\begin{pmatrix}5\times1+7\times2&5\times3+7\times4\\6\times1+8\times2&6\times3+8\times4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}19&43\\22&50\end{pmatrix}$ ，所以 $(AB)^T = B^TA^T$ 。

5.已知 $A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ ， $f(x)=x^2 - 2x + 1$ ，求 $f(A)$ 。

解： $A^2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ ， $2A = 2\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}$ ， $1I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ 。

$f(A)=A^2 - 2A + I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ 。

6.已知 $A=\begin{pmatrix}2&1\\ - 1&3\end{pmatrix}$ ， $f(x)=x^3 - 3x^2 + 2x - 1$ ，求 $f(A)$ 。

解： $A^2=\begin{pmatrix}2&1\\ - 1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\ - 1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 - 1&2 + 3\\ - 2 - 3& - 1 + 9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&5\\ - 5&8\end{pmatrix}$ 。

$A^3 = A^2A=\begin{pmatrix}3&5\\ - 5&8\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\ - 1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 - 5&3 + 15\\ - 10 - 8& - 5 + 24\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&18\\ - 18&19\end{pmatrix}$ 。

$3A^2 = 3\begin{pmatrix}3&5\\ - 5&8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9&15\\ - 15&24\end{pmatrix}$ ， $2A = 2\begin{pmatrix}2&1\\ - 1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&2\\ - 2&6\end{pmatrix}$ ， $-1I=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}$ 。

$f(A)=A^3 - 3A^2 + 2A - I=\begin{pmatrix}1&18\\ - 18&19\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}9&15\\ - 15&24\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4&2\\ - 2&6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&5\\ - 1&2\end{pmatrix}$ 。

7.已知 $A$ 是一個 $3\times3$ 矩陣， $A^T=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}$ ，求 $A$ 。

解：由 $(A^T)^T = A$ ，所以 $A=\begin{pmatrix}1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\end{pmatrix}$ 。

8.已知 $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ ， $B=\begin{pmatrix} - 1& - 2\\ - 3& - 4\end{pmatrix}$ ，求 $(A - B)^T$ 。

解： $A - B=\begin{pmatrix}1-( - 1)&2-( - 2)\\3-( - 3)&4-( - 4)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&4\\6&8\end{pmatrix}$ ， $(A - B)^T=\begin{pmatrix}2&6\\4&8\end{pmatrix}$ 。