🎯 算法精讲 | 树(二):BFS层序遍历の魔法——像水波纹一样扫描整棵树
📅 2025/03/11 || 推荐阅读时间 12分钟
🌟 开篇故事
小明用DFS解二叉树的右视图总超时,直到他发现BFS层序遍历就像超市结账时排队——先来的顾客先结账,每批结账的顾客正好组成一个层级!今天我们就来揭秘这个波纹扫描术的奥义!
🌟 导航图
一、BFS 核心原理(图解版)
1.1 队列工作原理 🧩
1.2 与DFS的核心差异表
特性 | BFS | DFS |
---|---|---|
数据结构 | 队列(Queue) | 栈(Stack) |
遍历顺序 | 层级扩散 | 深度优先 |
空间复杂度 | O(最宽层节点数) | O(树的高度) |
经典应用场景 | 最短路径、层序操作 | 路径遍历、回溯问题 |
力扣经典题 | 102.层序遍历 | 113.路径总和II |
二、3大变形题型库
2.1 基础层序遍历 🔗力扣102
public List<List<Integer>> levelOrder(TreeNode root) {List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();if (root == null) return res;Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();queue.offer(root); // 🚀 启动引擎!while (!queue.isEmpty()) {int levelSize = queue.size(); // 📌 重点!必须在此处获取sizeList<Integer> level = new ArrayList<>();for (int i = 0; i < levelSize; i++) {TreeNode node = queue.poll();level.add(node.val);// 🌈 像播种机一样播撒下一层if (node.left != null) queue.offer(node.left);if (node.right != null) queue.offer(node.right);}res.add(level); // 🎁 打包当前层结果}return res;
}
2.2 锯齿形遍历 🔗力扣103
public List<List<Integer>> zigzagLevelOrder(TreeNode root) {List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();if (root == null) return res;boolean isEvenLevel = false; // 🎭 奇偶层标记Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();queue.offer(root);while (!queue.isEmpty()) {int size = queue.size();LinkedList<Integer> level = new LinkedList<>(); // 🪄 魔法发生地!for (int i = 0; i < size; i++) {TreeNode node = queue.poll();if (isEvenLevel) {level.addFirst(node.val); // 🔙 偶数层反向插入} else {level.addLast(node.val); // ➡️ 奇数层正向插入}if (node.left != null) queue.offer(node.left);if (node.right != null) queue.offer(node.right);}res.add(level);isEvenLevel = !isEvenLevel; // 🔄 切换标记}return res;
}
2.3 层最大值 🔗力扣515
public List<Integer> largestValues(TreeNode root) {List<Integer> res = new ArrayList<>();if (root == null) return res;Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();queue.offer(root);while (!queue.isEmpty()) {int size = queue.size();int max = Integer.MIN_VALUE; // 🌋 初始化火山口for (int i = 0; i < size; i++) {TreeNode node = queue.poll();max = Math.max(max, node.val); // 🏆 实时更新最大值if (node.left != null) queue.offer(node.left);if (node.right != null) queue.offer(node.right);}res.add(max); // 📌 记录本层巅峰值}return res;
}
三、高频场景避坑指南
3.1 特殊场景处理表
特殊场景 | 易错点 | 解决方案 |
---|---|---|
N叉树层序遍历 | 子节点是List结构 | 遍历 children 列表 |
最小深度计算 | 过早返回导致错误 | 遇到叶子节点才更新结果 |
图结构中的BFS | 循环引用导致死循环 | 使用 visited 集合标记已访问 |
双向BFS优化 | 两端扩散的终止条件 | 检测到相交元素立即返回 |
3.2 最小深度问题 🔗力扣111
public int minDepth(TreeNode root) {if (root == null) return 0;Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();queue.offer(root);int depth = 0; // 🌊 波纹扩散计数器while (!queue.isEmpty()) {depth++; // 📈 层级+1int size = queue.size();for (int i = 0; i < size; i++) {TreeNode node = queue.poll();// 🎯 遇到第一个叶子节点立即返回if (node.left == null && node.right == null) return depth;if (node.left != null) queue.offer(node.left);if (node.right != null) queue.offer(node.right);}}return depth; // 实际不会执行到这里
}
四、可视化进阶:双向BFS动图
适用场景:当起点和终点都明确时(如127.单词接龙),时间复杂度从O(bd)降到O(b(d/2))!
五、知识宇宙扩展站 🚀
5.1 BFS变种应用表
变种类型 | 核心思想 | 经典题目 |
---|---|---|
多源BFS | 多个起点同时扩散 | 994.腐烂的橘子 |
优先队列BFS | 带权重的最短路径 | 787.K站中转内最便宜的航班 |
跳跃式BFS | 允许跨层访问 | 1345.跳跃游戏IV |
5.2 多源BFS实战 🔥 🔗力扣994
// 🍊 腐烂橘子同时扩散的魔法!
public int orangesRotting(int[][] grid) {Queue<int[]> queue = new LinkedList<>();int fresh = 0, time = 0;// 🌋 初始化:所有腐烂橘子入队for (int i = 0; i < grid.length; i++) {for (int j = 0; j < grid[0].length; j++) {if (grid[i][j] == 2) queue.offer(new int[]{i, j});else if (grid[i][j] == 1) fresh++;}}int[][] dirs = {{1,0}, {-1,0}, {0,1}, {0,-1}};while (!queue.isEmpty() && fresh > 0) {int size = queue.size();for (int i = 0; i < size; i++) {int[] pos = queue.poll();for (int[] d : dirs) {int x = pos[0] + d[0];int y = pos[1] + d[1];if (x >= 0 && x < grid.length && y >= 0 && y < grid[0].length && grid[x][y] == 1) {grid[x][y] = 2;queue.offer(new int[]{x, y});fresh--;}}}time++; // ⏳ 时间流逝}return fresh == 0 ? time : -1;
}
5.3 带权BFS专题 ⚖️
5.3.1 优先队列BFS模板 ⚖️ 🔗力扣787
// ✈️ 像订机票一样找最便宜路径
public int findCheapestPrice(int n, int[][] flights, int src, int dst, int k) {Map<Integer, List<int[]>> graph = new HashMap<>();for (int[] f : flights) {graph.computeIfAbsent(f[0], key -> new ArrayList<>()).add(new int[]{f[1], f[2]});}// 优先队列:按价格排序(三元组:当前节点,剩余次数,累计价格)PriorityQueue<int[]> pq = new PriorityQueue<>((a,b) -> a[2]-b[2]);pq.offer(new int[]{src, k+1, 0});while (!pq.isEmpty()) {int[] curr = pq.poll();int node = curr[0], stops = curr[1], price = curr[2];if (node == dst) return price;if (stops == 0) continue;for (int[] neighbor : graph.getOrDefault(node, new ArrayList<>())) {pq.offer(new int[]{neighbor[0], stops-1, price + neighbor[1]});}}return -1;
}
5.3.2 复杂度对比表
算法类型 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | 适用场景 |
---|---|---|---|
传统BFS | O(n) | O(n) | 无权图最短路径 |
优先队列BFS | O(m + n log n) | O(n) | 带权图最优路径 |
双向BFS | O(b^(d/2)) | O(b^(d/2)) | 起点终点明确的场景 |
5.4 跳跃式BFS黑科技 🦘
5.4.1 跳跃游戏IV 🔗力扣1345
// 🎮 像超级玛丽一样跳跃通关!
public int minJumps(int[] arr) {Map<Integer, List<Integer>> valueMap = new HashMap<>();for (int i = 0; i < arr.length; i++) {valueMap.computeIfAbsent(arr[i], k -> new ArrayList<>()).add(i);}Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();boolean[] visited = new boolean[arr.length];queue.offer(0);visited[0] = true;int steps = 0;while (!queue.isEmpty()) {int size = queue.size();for (int i = 0; i < size; i++) {int curr = queue.poll();if (curr == arr.length - 1) return steps;// 三种跳法:左跳、右跳、等值跳if (curr - 1 >= 0 && !visited[curr-1]) {visited[curr-1] = true;queue.offer(curr-1);}if (curr + 1 < arr.length && !visited[curr+1]) {visited[curr+1] = true;queue.offer(curr+1);}if (valueMap.containsKey(arr[curr])) {for (int same : valueMap.get(arr[curr])) {if (!visited[same]) {visited[same] = true;queue.offer(same);}}valueMap.remove(arr[curr]); // 🗝️ 关键优化!}}steps++;}return -1;
}
5.4.2 优化技巧对比
优化方法 | 效果提升 | 实现难度 |
---|---|---|
哈希预存等值节点 | 减少重复搜索 | ⭐⭐ |
访问后立即删除键 | 避免重复处理同类节点 | ⭐⭐⭐ |
方向剪枝 | 优先处理更接近终点的方向 | ⭐⭐ |
六、BFS 灵魂十问 💬
Q1:如何处理图遍历中的循环引用?
答:使用
visited
集合,像贴封条一样标记已访问节点!
Q2:什么时候必须用BFS不能用DFS?
答:找最短路径时(如迷宫问题),BFS像警犬搜救,DFS像游客瞎逛!
Q3:队列实现选LinkedList还是ArrayDeque?
答:99%场景用
ArrayDeque
更高效,但需要头尾操作时用LinkedList
!
Q4:N叉树层序遍历和二叉树有什么区别?
答:遍历子节点时从固定左右子节点变成遍历
children
列表!
Q5:如何判断BFS遍历是否完成?
答:队列空且所有节点处理完毕,就像快递站所有包裹都派送完!
六、课后作业大闯关 🏁
6.1 必做题
-
🔗 107.自底向上层序遍历
技巧提示:用
LinkedList
的addFirst
方法或最后反转结果列表
6.2 挑战题
-
🔗 297.二叉树的序列化与反序列化
高阶技巧:层序遍历序列化,空节点用特殊符号标记
6.3 基础关:层序遍历变种
-
🔗 429.N叉树层序遍历
通关技巧:把二叉树左右子节点判断改为遍历
children
列表
6.4 进阶关:多维BFS
-
🔗 542.01矩阵
破关秘籍:多源BFS,所有0同时作为起点扩散
6.5 终极关:BFS+状态压缩
-
🔗 847.访问所有节点的最短路径
黑科技:用位运算记录已访问节点(如
visited = 1 << n
)
七、灵魂拷问小剧场 🎭
小白:BFS层序遍历的时间复杂度怎么计算?
大佬:每个节点进出队列各一次,时间复杂度是妥妥的O(n)!
小白:那空间复杂度呢?
大佬:最差情况是完美二叉树,最后一层有⌈n/2⌉个节点,所以是O(n)!
八、下期预告
《树的删除操作——像外科手术一样精准移除节点》 🔥 亮点抢先看:
- 🪓 目标节点的精准定位术
- 🔧 子树重组缝合技巧
- 🩺 AVL树平衡性维护
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