边缘检测的目的是找到灰度值的突变

步骤：

1. 使用高斯滤波，以平滑图像、滤除噪声
2. 计算图像中每个像素点的梯度强度和方向
3. 应用非极大值预测，以消除边缘检测的杂散响应
4. 应用双阈值检测来确定真实的和潜在的边缘
5. 通过抑制孤立的弱边缘最终完成边缘检测

5.1 高斯滤波器

$$H=\left[\begin{array}{ccc}0.0924& 0.1192& 0.0924\\ 0.1192& 0.1538& 0.1192\\ 0.0924& 0.1192& 0.0924\end{array}\right]$$

$H$为3×3高斯滤波器，经过归一化处理。
$$e=H\ast A=\left[\begin{array}{ccc}{h}_{11}& h_{12}& h_{13}\\ h_{21}& h_{22}& h_{23}\\ h_{31}& h_{32}& h_{33}\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right]=\text{sum}\left(\left[\begin{array}{ccc}a\times h_{11}& b\times h_{12}& c\times h_{13}\\ d\times h_{21}& e\times h_{22}& f\times h_{23}\\ g\times h_{31}& h\times h_{32}& i\times h_{33}\end{array}\right]\right)$$
$A$为图像区域，与高斯滤波器对应元素相乘后得到$e$为滤除噪声后的结果矩阵。

5.2 梯度和方向

$$S_x=\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ -2& 0& 2\\ -1& 0& 1\end{array}\right]S_y=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 0& 0\\ -1& -2& -1\end{array}\right]$$

这是Sobel算子的两个卷积核$S_x$和$S_y$。
$$\begin{gathered} G_x=S_x\ast A=\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ -2& 0& 2\\ -1& 0& 1\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right]=\text{sum}\left(\left[\begin{array}{ccc}-a& 0& c\\ -2d& 0& 2f\\ -g& 0& i\end{array}\right]\right) \\ {G}_y=S_y\ast A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 0& 0\\ -1& -2& -1\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right]=\text{sum}\left(\left[\begin{array}{ccc}a& 2b& c\\ 0& 0& 0\\ -g& -2h& -i\end{array}\right]\right) \end{gathered}$$
计算x和y方向上的梯度，再计算总梯度和方向
$$\begin{gathered} G=\sqrt{G_x^2+G_y^2} \\ \theta =\arctan \left(\frac{G_y}{G_x}\right) \end{gathered}$$

5.3 非极大值抑制

非极大值抑制目的是确保检测到的边缘是细的、连续的，并且尽可能地精确。这一步骤非极大值抑制能够有效地抑制非边缘点，保留真正的边缘点。

非极大值抑制有两种方法：

线性插值法

图中ABCDE每个点代表一个像素点，E点的梯度为蓝色的线，梯度方向指向左上角，边缘与梯度方向垂直。想确定这条梯度线上的边缘，就要比较E点的梯度和f、g点的梯度，而f、g点为亚像素点，所以f点需要通过A点与B点的梯度值求得。

f点的梯度值 = M(A)*w₁+M(B)*w₂，其中M表示梯度幅值，w₁可等于L(Af)/L(AB)，同理w₂也是如此

同理，可求得g点的梯度值，从而比较三个点的梯度值，确定哪点最大该点与梯度值的垂直方向就是边缘。

梯度方向离散化

我们可以把一个像素的梯度方向离散化为八个方向，这样就只需计算前后即可，不需要插值

将每个像素的梯度方向分解为八个方向。假设梯度方向是45°，如果点 A 的梯度幅值大于其相邻像素点的梯度幅值，则保留点 A；否则，抑制点 A。

5.4 双阈值检测

梯度幅值大于高阈值的像素被标记为强边缘像素，而梯度幅值小于低阈值的像素被标记为非边缘像素。梯度幅值介于两者之间的像素被标记为弱边缘像素。

强边缘像素通常是确定的边缘，而弱边缘像素是否属于边缘则需要进一步判断。通常，低阈值设置为高阈值的一半。

代码实现Canny边缘检测：

img = cv2.imread('lena.jpg', cv2.IMREAD_GRAYSCALE)
# 传入图片数据和两个阈值
v1 = cv2.Canny(img, 80, 150)
v2 = cv2.Canny(img, 50, 100)res = np.hstack((v1, v2))
cv_show(res, 'res')

两个阈值越大，边缘的精确度就会提高，检测到的边缘就会减少，一些细节会丢失，也有可能会漏检真实的边缘。