网格参数化，Mesh parameterization processing

前言

多边形网格的类型多种多样。本文所实现的网格多边形参数化是指三角多边形。
不同的表示被用来编码三维物体的几何形状。选择一种表示方式取决于在上游的获取过程和下游的应用程序。然而，最容易重建的表示是在大多数情况下不是应用程序的最佳情况。参数化的概念是指为对象附加了一个“几何坐标系统”。
本文介绍了计算这种参数表示的方法对于给定的多边形网格。这有助于从一种表示转换为另一种表示。例如，可以转换网格模型变成一个分段的样条曲面，也就是这种类型的表示法用于计算机辅助设计（CAD）软件包。在某种意义上，这是提取了几何的“方程”，或者构造了几何的抽象几何：一旦几何被抽象，将其重新实例化为可选的表示变得更容易。
一个参数化的例子如下：通过对空间几何的重新建模，构造新了二维参数化对象。其作用在于完成了对三维mesh的参数化过程，这对于一些问题，如在三维mesh进行一些复杂操作时，我们可以将其转化为对二维对象，在其参数空间进行处理。最后将处理的结果转化到三维mesh。
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下面阐述了3中parametrization mapping 的方式。

1.Barycentric mapping

Mapping 步骤

Reference: W. Tutte. “Convex Representation of Graphs.”
他描述了一种方式，从Mesh 几何空到参数空间的映射方式，可以通过下式构建。

这里的i是指顶点的序列i，共有N个顶点。
该问题也被考虑为（对于坐标 $x_j,y_j$ ）,系数矩阵C决定了参数空间网格的形状：
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同时也给出了 $\lambda$ 的取值：

在上述的参数下，可以完成整个参数化的过程，定义为：

在文中证明该结论：给定一个与三角形曲面，如果边界顶点处的（u, v）坐标位于凸多边形上，如果内部顶点的坐标是其相邻顶点的凸组合，则（u, v）坐标形成有效的参数化，即无自交的参数化。并建议 $\lambda_{ij}=1/d_i$ ,他表示了质心mapping的参数化过程。具体取值如下：
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具体求解过程考虑为对一线性系统的求解，但对于大型mesh而言，这并不适用。可以考虑采用高斯赛德尔迭代求解。Gauss-Seidel更新方程如下：

实例

这里通过一个实际算例展示其mapping 过程。
该图为一个三维狮头mesh，red lines represent the boundary edge.
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This gif describes the algorithm update process, using the barycentric mapping.
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2.Laplace mapping

拉普拉斯变换，或拉普拉斯算子，是多元函数二阶导数的推广。二维的Discrete Laplace 过程可以写为：
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根据其形式，可以考虑为对函数x，y，G2变化的一种描述。他也经常被应用在图像处理等一些应用中，被简化为laplace operator。
对于三维mesh case， the equation can be define as:

A是指点i的邻域空间。省略其推导过程，这里直接给出结论（Ref: M. Eck, T. DeRose, T. Duchamp, H. Hoppe, M. Lounsbery, and W. Stuetzle. “Multiresolution Analysis of Arbitrary Meshes.”）：
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因此，其A矩阵值可以表示为：

依旧采用Gauss-Seidel algorithm, 对1中问题求解如下： fig 2

3.Laplace improvement

由二中解决方案，可以看出，Laplace 对该三角mesh的参数化过程并不如barycentric mapping. 究其原因是因为钝角三角问题。导致矩阵A值出现部分负值。这个问题一般可以通过对mesh 的细分处理，替换掉所有的钝角mesh，然后再带入LapLace mapping 过程。而在在一些改进方案中从新定义不同的系数值如下：
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算法更新:(由下图可以看出算法解决了Laplace-Beltrami operator的缺陷，不再有self-interesct mesh)
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