正则化强度的倒数 C （Inverse of Regularization Strength）
在机器学习中，特别是线性模型（如逻辑回归、支持向量机）中，正则化参数的倒数 C 是控制正则化强度的重要超参数。
1. 定义
C 的数学定义为：
其中：
- λ 是正则化参数，表示正则化强度。
- C 越大，正则化强度越弱；C 越小，正则化强度越强。
正则化的目标是通过在损失函数中添加正则项，控制模型的复杂度，从而防止过拟合或欠拟合。
2. 损失函数与正则化项
以逻辑回归为例，损失函数为：
引入 C 后，公式变为：
- 第一项：数据误差，衡量模型对训练数据的拟合程度。
- 第二项：正则化项，控制模型参数 w 的大小以避免过拟合。
3. C 的作用
(1) C 大小对模型的影响
-
C 大（即 λ 小）：
- 正则化强度弱，模型更关注拟合训练数据。
- 可能导致过拟合。
-
C 小（即 λ 大）：
- 正则化强度强，模型更关注限制参数的大小。
- 可能导致欠拟合。
(2) 直观理解
- 当
：
- 正则化项被忽略，模型完全拟合数据。
- 当
：
- 正则化项占主导，模型趋于简单，可能表现为所有参数趋于 0。
4. 如何选择 C
(1) 网格搜索
通过交叉验证，尝试不同的 C 值，选择使模型性能最优的参数。
from sklearn.model_selection import GridSearchCV
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.datasets import make_classification
from sklearn.model_selection import train_test_split# 生成二分类数据
X, y = make_classification(n_samples=1000, n_features=20, random_state=42)
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42)# 定义模型和参数范围
model = LogisticRegression()
param_grid = {'C': [0.01, 0.1, 1, 10, 100]}# 使用网格搜索
grid_search = GridSearchCV(model, param_grid, cv=5)
grid_search.fit(X_train, y_train)print(f"最佳参数: {grid_search.best_params_}")
输出结果
最佳参数: {'C': 0.01}(2) 对数据特性的考虑
- 数据维度高：可能需要较大的正则化（小 C）。
- 数据维度低：可以尝试较小的正则化（大 C）。
(3) 观察过拟合或欠拟合
- 如果训练集性能高但测试集性能低：减小 C（增加正则化强度）。
- 如果训练集和测试集性能均低：增大 C（减小正则化强度）。
5. 示例代码
以下是一个逻辑回归模型中使用 C 控制正则化强度的示例：
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.metrics import accuracy_score
from sklearn.datasets import make_classification
from sklearn.model_selection import train_test_split# 生成二分类数据
X, y = make_classification(n_samples=1000, n_features=20, random_state=42)
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42)# 使用不同的C值训练模型
for C in [0.01, 0.1, 1, 10, 100]:model = LogisticRegression(C=C, random_state=42, max_iter=1000)model.fit(X_train, y_train)# 预测并计算准确率y_pred = model.predict(X_test)accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)print(f"C={C}, 测试集准确率={accuracy:.4f}")
输出结果
C=0.01, 测试集准确率=0.8500
C=0.1, 测试集准确率=0.8467
C=1, 测试集准确率=0.8500
C=10, 测试集准确率=0.8467
C=100, 测试集准确率=0.84676. 总结
- 正则化强度的倒数 C 是控制模型正则化的重要参数。
- C 的大小决定了模型对数据拟合能力与正则化强度的权衡。
- 在实践中，合理选择 C 可以显著提升模型的性能，同时避免过拟合或欠拟合。
