原视频：28-9 拉格朗日乘数_哔哩哔哩_bilibili

我们现在来介绍一下拉格朗日乘子法的用途：

上图👆是一个三维空间的曲面，我们现在给它一个限制条件，来求它的极值。

如上图👆，假设曲面为，限制条件为平面（注意：这个平面不一定和xy平面垂直哦~），与曲面的交线是一个在空间中的抛物线。那么它会有一个极值（最小值）。那么问题来了，这个极值怎么算？首先，我们要先来了解这个算法。

如上图👆，我们做出了这个曲面的等高线，右侧为等高线的俯视图（即在xy平面上的投影）。那么平面和曲面形成的交线会和等高线在什么地方造成最小值呢？

如下图👇，应该在红色框框这个地方（切线）发生最小值

我们用下面这张图看就更容易理解了👇

绿色线为限制条件在xy平面上的投影（注意：由于平面不一定和xy平面垂直，所以平面与曲面的交线在xy平面上的投影也不一定是直线），而圈圈就是等高线在xy平面上的投影。要想发生极值，那绿色的线就要和圈圈发生相切的情况，而且它们会有共同的切线斜率（即共同的切线）。那么我们就要准备下结论了：绿色线和等高线在切点处，它们法线的向量在方向上是相同或相反的，在数值上是成比例的，即：，这也就是拉格朗日乘子法的公式。

如果你觉得用几何的方式不容易理解，我们也可以用代数的方式，利用连锁率来解释。

由于限制条件为，我们把这里的看作是关于的函数，那么限制条件可写成隐函数的形式：

既然曲面是限制在的情况下，那么曲面函数也可写成：

下面，我们利用连锁率：

例题：

所以，上面题目中的极大值是5，极小值是-5

注意：如果碰到更多的条件，就要扩展出更多的方程式，求出更多的