背包问题汇总

本文涉及知识点

动态规划汇总
状态机dp

01背包

有n件物品，体积分别是v[i]，价值分别是w[i]，有个包的容积是bv。如何选择物品使得，在总体积不超过vb的前提下，让总价值最大。

动态规划的状态表示

dp[i][j] 表示处理完前i件物品，占用体积是j的最大价值。
如果不用滚动向量，空间复杂度是O(n $\times$ bv)

动态规划的状态方程

如果选择选择标为i的物品：
MaxSelf(dp[i+1][j+v[i]] ,dp[i][j]+w[i])
如果不选择下标为i的物品：
MaxSelf(dp[i+1][j],dp[i][j])
转移方程的时间复杂度为O(1)
故总时间复杂度为：O(n $\times$ bv)

动态规划的初始状态

全为0。

动态规划的填表顺序

依次枚举各物品。

动态规划的返回值

dp.back()的最大值。

多重背包：每件物品有多件n[i]。
完全背包：每件物品无限。
完全背包：我们可以把物品拆分1 + 2 + 4+ 8 + $\cdots$ 这样时间复杂是O(n $\times$ bv $\times$ logmax)
多重背包假定某个物品有x件：
拆分成：1+2+4+8 + $\cdots$ + y
y = x - (1 + 2+4+8 $\cdots$ ) ,y > 0，y尽可能得小。
我们来证明，这样可以选择：[0,x]
令y前面有i 项：则通过选或不选前i项，范围为：[0,2ⁱ)
y < 2ⁱ
如果选择y，则范围为：[y,y+2ⁱ)
两者结合就是：[0,y+2ⁱ)
y+2ⁱ-1就是x，故可以表示[0,x]

完全背包

dp[i][j] = max(dp[i][j-v[i]]+w[i],dp[i-1][j])
分别对应两种情况：
一，选择物品i。只需要考虑选择一个，因为dp[i][j-v[i]] dp[i][j-v[i]*2] $\cdots$ 可能也选择了一个。
二，不选择物品i。
时间复杂度为：O(n $\times$ bv)

单调双向队列及多重背包

for(int j1 = 0 ; j1 < v[i];j1++)
for(int j = j1; j <= bv; j+= j1 ){
$\cdots$
}
队列que中记录如下数据：{pre[j1],pre[j1+v[i]]-w[i],pre[j1+(v[i]-v[i])*2 $\cdots$ }
max(que)+ ( j- j1)/v[i] *w[i] 就是dp[i][j]。
问题一：
( j- j1)/v[i] > n[i] ，就需要队首出队，直到 ( j- j1)/v[i] == n[i]。
问题二，如何求最大值：
前面的数据先出队，如果前面的数据小于等于后面的数据，则前面的数据被淘汰了。
数据淘汰后，队列的数据降序，也就是队首数据最大。

例题

背包
定界01背包
【动态规划】879. 盈利计划
完全背包
【动态规划】【C++算法】2188. 完成比赛的最少时间
【动态规划】【数学】【C++算法】1449. 数位成本和为目标值的最大数字
类似多重背包
【动态规划】【同余前缀和】【多重背包】2902. 和带限制的子多重集合的数目

扩展阅读

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