之前收藏的一门课,刚好期末复习,顺便看一看哈哈
课程链接:【线性代数的本质】合集-转载于3Blue1Brown官方双语】
向量究竟是什么
线性代数中最基础、最根源的组成部分就是向量,需要先明白什么是向量
不同专业对向量的看法
- 物理专业:长度和方向
- 计算机专业:有序的数字列表
- 数学专业:加法和数乘
思考向量的特定方式
几何方面:向量是空间中的箭头,线性代数中,一般选择原点作为起点。可以和数字列表结合起来,为了把点(-2, 3)和向量(-2, 3)区分开来,一般将向量竖着写,用方括号括起来,这样每一对数和向量就一一对应了,三维空间类似。
向量加法
将w向量从原点沿着v向量的方向向上平移,如下图所示,可以得到两向量的和向量。视频中提到,将向量看作一种运动,就是想空间中某一方向移动一段距离,例如,先沿着v运动,再沿着w运动,和你沿着他们的和向量运动是一样的。
向量数乘
将一个数字乘以一个向量,相当于对这个向量进行缩放,这个数字也称为“标量”,主要作用就是对向量进行缩放
线性组合:张成的空间与基
二维平面,有两个特殊的向量,”基向量“,每当我们使用数字描述向量,它都依赖于我们正在使用的基。两个向量全部线性组合构成的向量称为**“张成的空间”**
当考虑一个向量的时候,将其看作箭头,当考虑多个向量的时候,就将每个向量看作一个点,在三维空间中取两个指向不同方向的向量,对红和蓝两标量进行缩放相加,可以得到绿色,逐渐改变标量,可以得到一个过坐标原点的平面,此时随机加入一个向量,该向量不在之前两向量张成的空间内,由于他们指向不同方向,所以可以得到所有的三维向量,可以理解为第三个向量将前两个向量张成的平面来回移动,从而扫过整个空间。
- 线性相关:一个向量可以表示为其他向量的线性组合
- 线性无关:如果所有的向量都给张成的空间增加了新的维度,则被称为线性无关
基的严格定义:向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关向量集。
矩阵和线性变换
我感觉这个up通过可视化进行讲述,先举出特定的例子帮助理解,然后再归一到一般情况进行全面总结。这里,线性变化抓住最本质的东西,确定基向量,将矩阵看作空间的变换。
线性变换的理解:
函数,根据输入,得到输出的过程,而变换,则暗示以特定方式来可视化这一输入输出的关系。
空间中的变换的多样的,线性代数的变换更容易理解,怎么理解线性呢?需要满足两个条件,一个是变换之后直线依然是直线,二是原点必须保持固定。保证了网格线平行且等距分布,并且保持原点不动。将矩阵看作空间变换,这个思想对后续章节都有作用
如何用数值描述线性变换,给定一个向量坐标,可以得到一个变换之后的向量坐标?实际只需要记住基向量变换之后的位置,由此可见,一个线性变换只要四个元素就可以确定,变换后i帽的两个坐标和变换后j帽的两个坐标。