理论力学基础：讲义与笔记(1)

第一章 运动的基本概念

1.1 质点与刚体

在理论力学中，质点和刚体是两种基本的物理模型，它们为我们理解和分析各种物体的运动提供了简化而有效的工具。

1.1.1 质点

质点是指质量集中特定于一个点的理想化物体，其自身的大小、形状可以忽略不计。质点模型在处理复杂物体的运动时具有重要意义，因为它大大简化了问题的分析。质点的运动状态由其位置矢量 $\mathbf{r}(t)$ 描述，其中 $t$ 表示时间。

根据牛顿第二定律，质点在受力 $\mathbf{F}$ 作用下的运动方程为：

$$\mathbf{F}=m\mathbf{a}$$

其中，$m$ 是质点的质量，$\mathbf{a}$ 是质点的加速度，定义为位置矢量对时间的二阶导数：

$$\mathbf{a}=\frac{d^2\mathbf{r}}{d{t}^2}$$

通过求解上述微分方程，可以获得质点在特定力场中的运动轨迹。例如，在恒定力场下，质点的运动方程可以积分得到其速度和位置随时间的变化关系。

1.1.2 刚体

刚体是指内部各部分之间的距离始终保持不变的理想化物体，换句话说，刚体在运动过程中不发生形变。与质点不同，刚体的运动不仅包括平移，还包括绕某一轴的旋转，这使得对刚体的动力学分析更加复杂。

刚体的运动可以分解为质心的平移运动和绕质心的旋转运动两部分。质心运动遵循与质点相同的动力学规律，即：

$${\mathbf{F}}_{\text{外}}=M{\mathbf{a}}_{\text{质心}}$$

其中，$M$ 是刚体的总质量，${\mathbf{F}}_{\text{外}}$ 是作用在刚体上的外力，${\mathbf{a}}_{\text{质心}}$ 是质心的加速度。

对于刚体的旋转运动，牛顿第二定律在角动量形式下表述为：

$${\mathbf{\tau }}_{\text{外}}=\frac{d\mathbf{L}}{dt}$$

其中，${\mathbf{\tau }}_{\text{外}}$ 是外力矩，$\mathbf{L}$ 是刚体的角动量。角动量与角速度 $\mathbf{\omega }$ 的关系由转动惯量张量 $\mathbf{I}$ 描述：

$$\mathbf{L}=\mathbf{I}\mathbf{\omega }$$

转动惯量 $\mathbf{I}$ 反映了刚体质量分布对旋转的影响，是刚体动力学中的重要物理量。在惯性参考系中，转动惯量张量可以通过以下积分表达式计算：

$$I_{ij}=\int \rho (\mathbf{r})\left({\delta }_{ij}{r}^2-r_i{r}_j\right)dV$$

其中，$\rho (\mathbf{r})$ 是密度分布，${\delta }_{ij}$ 是克罗内克δ符号，$r_i$ 和 $r_j$ 是位置矢量的分量。

通过上述关系，我们可以分析刚体在受力矩作用下的旋转行为，如陀螺效应和角动量守恒。刚体模型广泛应用于工程、航空航天、机器人等领域，为复杂系统的设计与控制提供理论基础。

1.1.3 质点与刚体模型的联系与区别

质点和刚体模型在理论力学中扮演着不同但互补的角色。质点模型适用于描述那些尺寸相对于研究尺度可以忽略的物体，如电子或小颗粒。而刚体模型则适用于描述那些形状和尺寸在分析过程中保持不变的宏观物体，如地球或机器部件。

两者的主要区别在于运动自由度的不同。质点的运动完全由其质心的位置决定，具有三个平移自由度。而刚体除了质心的三个平移自由度外，还具有三个旋转自由度，因而整体上具有六个自由度。这决定了我们在分析刚体运动时需要考虑更多的动力学变量和方程。

1.2 运动学基础

运动学是理论力学中的一个核心分支，专门研究物体的运动方式及其几何特征，而不涉及导致这种运动的力。通过运动学的分析，我们能够精确描述物体在空间中的位置变化及其运动状态，为深入理解更复杂的动力学问题奠定基础。

1.2.1 位移

位移是描述物体位置变化的矢量量，具有大小和方向。假设一个质点从时间 $t_1$ 的位置 $\mathbf{r}(t_1)$ 移动到时间 $t_2$ 的位置 $\mathbf{r}(t_2)$，则位移 $\mathbf{s}$ 定义为：
$$\mathbf{s}=\mathbf{r}(t_2)-\mathbf{r}(t_1)$$
位移只依赖于物体的初末位置，与其运动路径无关。因此，即使物体经历了复杂的曲线运动，只要起点和终点位置确定，位移量就是唯一确定的。

1.2.2 速度

速度是位移对时间的导数，反映物体位置变化的快慢及方向。瞬时速度 $\mathbf{v}(t)$ 定义为位置矢量对时间的微分：
$$\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}(t)}{dt}$$
对于连续可微的运动轨迹，速度向量在任意时刻的方向即为物体运动的切线方向，其大小表示物体在该时刻的速率。

平均速度 定义为总位移与总时间之比：
$${\mathbf{v}}_{\text{平均}}=\frac{\mathbf{s}}{\Delta t}=\frac{\mathbf{r}(t_2)-\mathbf{r}(t_1)}{t_2-t_1}$$
平均速度反映了物体在一段时间内运动的整体趋势。

1.2.3 加速度

加速度是速度对时间的导数，描述速度变化的速率。瞬时加速度 $\mathbf{a}(t)$ 定义为速度矢量的微分：
$$\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}(t)}{dt}=\frac{d^2\mathbf{r}(t)}{d{t}^2}$$
加速度不仅揭示了速度的增减，还反映了运动轨迹的曲率变化。加速度的方向指向速度变化的方向，无论是加速还是减速，都能够通过加速度的大小和方向加以描述。

1.2.4 运动的分类

运动学中常将运动分为直线运动和曲线运动两大类，每种运动类型都有其独特的特征和数学描述方法。

1.2.4.1 直线运动

直线运动是物体沿直线路径的运动。在直线运动中，速度和加速度的方向保持不变，且运动轨迹可用一维坐标轴上的位置随时间的变化表示。

匀速直线运动 是速度恒定的直线运动，其运动方程为：
$$\mathbf{r}(t)={\mathbf{r}}_0+\mathbf{v}t$$
其中，${\mathbf{r}}_0$ 为初始位置，$\mathbf{v}$ 为恒定速度。

匀加速直线运动 则是加速度恒定的直线运动，其运动方程为：
$$\mathbf{r}(t)={\mathbf{r}}_0+{\mathbf{v}}_{0}t+\frac{1}{2}\mathbf{a}{t}^2$$
其中，${\mathbf{v}}_0$ 为初始速度，$\mathbf{a}$ 为恒定加速度。

1.2.4.2 曲线运动

曲线运动是物体沿曲线路径的运动，速度和加速度的方向随时间变化。曲线运动的分析通常需要将运动分解为切向运动和法向运动两部分。

切向加速度 ${\mathbf{a}}_t$ 描述速度大小的变化，定义为速度对时间的导数：
$${\mathbf{a}}_t=\frac{d|\mathbf{v}|}{dt}$$

法向加速度 ${\mathbf{a}}_n$ 描述运动方向的变化，指向曲线的内侧，其大小由速度的平方与曲率半径之比给出：
$${\mathbf{a}}_n=\frac{|\mathbf{v}{|}^2}{R}$$
其中，$R$ 为曲线的曲率半径。

因此，瞬时加速度可以表示为：
$$\mathbf{a}={\mathbf{a}}_t\mathbf{T}+{\mathbf{a}}_n\mathbf{N}$$
其中，$\mathbf{T}$ 是切向单位向量，$\mathbf{N}$ 是指向曲线内侧的法向单位向量。

实例分析：抛体运动：

抛体运动是一个经典的曲线运动实例。假设物体以初速度 ${\mathbf{v}}_0$ 水平抛出，在重力加速度 $\mathbf{g}$ 的作用下，其运动轨迹描述为抛物线。

运动方程为：
$$\mathbf{r}(t)={\mathbf{r}}_0+{\mathbf{v}}_{0}t+\frac{1}{2}\mathbf{g}{t}^2$$
其中，${\mathbf{r}}_0$ 为起始位置，${\mathbf{v}}_0$ 为水平初速度，$\mathbf{g}=-g\mathbf{j}$ 为重力加速度。

通过分解，水平方向上的速度恒定，垂直方向上的速度随时间线性变化，加速度仅在垂直方向上存在，导致物体轨迹呈抛物线形状。

1.2.5 运动描述的方法

为了全面描述物体的运动，常用以下几种方法：

1. 位置-时间描述法：通过位置矢量随时间的变化函数 $\mathbf{r}(t)$ 来描述运动。
2. 速度-时间描述法：通过速度矢量随时间的变化函数 $\mathbf{v}(t)$ 来描述运动，并通过积分得到位置。
3. 加速度-时间描述法：通过加速度矢量随时间的变化函数 $\mathbf{a}(t)$ 来描述运动，并通过二次积分得到位置。

每种描述方法都有其应用场景，根据具体问题的已知条件和需要求解的未知量，选择最合适的描述方法能够简化计算过程，提高分析效率。

1.3 参考系与坐标系

1.3.1 惯性参考系与非惯性参考系

在理论力学中，参考系的选择是描述物体运动的基石。参考系主要分为惯性参考系和非惯性参考系两大类。

惯性参考系是指在该参考系中，如果物体不受外力作用，便会保持静止或做匀速直线运动。这是牛顿第一定律的直接体现。例如，远离地球引力和其他外力影响的深空区域可以近似视为惯性参考系。然而，地球本身由于自转和公转，严格来说并非绝对的惯性参考系，但在多数情况下，我们可以将其视为惯性参考系来简化分析。

相比之下，非惯性参考系则是加速或旋转的参考系。在这样的参考系中，物体的运动不仅受到真实力的作用，还需要考虑惯性力（如离心力、科里奥利力等）的影响。例如，旋转的转盘就是一个典型的非惯性参考系，物体在其中的运动会体现出离心力和科里奥利力的效应。

1.3.2 坐标系的选择

选择合适的坐标系对于简化力学问题至关重要。常见的坐标系包括直角坐标系、极坐标系和曲线坐标系等。在描述特定问题时，选择与问题对称性相匹配的坐标系可以显著简化计算过程。

例如，在分析行星绕太阳的运动时，采用极坐标系（$r$, $\theta$）能够更自然地描述轨道形状，而在描述机械臂的运动时，关节坐标系则更加方便。此外，在处理旋转运动时，旋转坐标系可以帮助我们更直观地理解动力学行为。

1.3.3 坐标变换

在不同的参考系或坐标系之间进行转换，是理论力学中常见的需求。坐标变换不仅涉及位置的变化，还可能涉及速度和加速度的转换。

平移变换用于描述参考系的移动。假设两个参考系$\mathrm{K}$和${\mathrm{K}}^{\prime }$，其中${\mathrm{K}}^{\prime }$相对于$\mathrm{K}$以矢量$\mathbf{R}(t)$平移，则位置矢量的变换关系为：
$${\mathbf{r}}^{\prime }=\mathbf{r}-\mathbf{R}(t)$$
速度和加速度的变换则分别为：
$${\mathbf{v}}^{\prime }=\mathbf{v}-\frac{d\mathbf{R}(t)}{dt}$$
$${\mathbf{a}}^{\prime }=\mathbf{a}-\frac{d^2\mathbf{R}(t)}{d{t}^2}$$

旋转变换则用于描述参考系的旋转。假设参考系${\mathrm{K}}^{\prime }$相对于$\mathrm{K}$以角速度$\mathbf{\omega }$旋转，位置矢量的变换关系为：
$${\mathbf{r}}^{\prime }=\mathrm{A}(t)\mathbf{r}$$
其中，$\mathrm{A}(t)$是描述旋转的旋转矩阵。相应的，速度和加速度的变换包含了额外的项：
$${\mathbf{v}}^{\prime }=\mathrm{A}(t)\mathbf{v}+\mathbf{\omega }\times {\mathbf{r}}^{\prime }$$
$${\mathbf{a}}^{\prime }=\mathrm{A}(t)\mathbf{a}+2\mathbf{\omega }\times {\mathbf{v}}^{\prime }+\mathbf{\omega }\times (\mathbf{\omega }\times {\mathbf{r}}^{\prime })+\frac{d\mathbf{\omega }}{dt}\times {\mathbf{r}}^{\prime }$$

这些额外的项代表了惯性力的影响，如科里奥利力和离心力等，正是这些力的引入，使得非惯性参考系中的牛顿运动方程需要进行修正。

1.3.4 实际应用中的参考系与坐标系选择

在实际问题中，参考系与坐标系的选择往往取决于具体的物理情境和求解目标。例如：

• 航天工程：在分析卫星轨道时，通常选用地心惯性参考系，以简化轨道方程的解析。
• 机械设计：在设计机器人手臂时，采用关节坐标系可以方便地描述各关节的运动状态。
• 气象学：研究大气运动时，旋转的地球参考系需要考虑科里奥利力的影响。

通过合理选择参考系与坐标系，能够有效地简化动力学方程，突出问题的主要物理特征，从而更高效地解决复杂的力学问题。

第二章 力与动力学

2.1 牛顿三大定律

牛顿的三大运动定律是现代动力学的基石，它们为我们理解物体运动的基本规律提供了框架。本节将深入探讨每一条定律，并结合实际例子进行详细说明。

2.1.1 牛顿第一定律（惯性定律）

牛顿第一定律指出，如果一个物体不受外力作用，它将保持匀速直线运动或静止状态。这一原理揭示了惯性的本质，即物体抵抗运动状态变化的倾向。

$$\text{如果}\sum \mathbf{F}=0\text{，则}\mathbf{a}=0$$

其中，$\sum \mathbf{F}$ 表示作用在物体上的合力，$\mathbf{a}$ 表示物体的加速度。该定律强调了力与运动状态之间的关系，说明只有在外力作用下，物体的运动状态才会发生变化。

实例分析：在一个平滑的冰面上滑行的冰球，如果不受空气阻力和摩擦力的影响，冰球将以恒定速度直线运动。这正是牛顿第一定律的直接体现。

2.1.2 牛顿第二定律（加速度定律）

牛顿第二定律建立了力、质量与加速度之间的定量关系。它表明，作用在物体上的合力与物体的质量和加速度成正比，即：

$$\sum \mathbf{F}=m\mathbf{a}$$

其中，$m$ 是物体的质量，$\mathbf{a}$ 是物体的加速度。这个定律不仅描述了力如何影响物体的运动，还为我们提供了计算加速度的工具。在向量形式下，三维空间中的每一个分量都需要满足该关系。

详细推导：

考虑一物体受多个力 ${\mathbf{F}}_1,{\mathbf{F}}_2,\dots ,{\mathbf{F}}_n$ 作用，其合力为：

$$\sum \mathbf{F}={\mathbf{F}}_1+{\mathbf{F}}_2+\cdots +{\mathbf{F}}_n$$

根据第二定律：

$$\mathbf{a}=\frac{\sum \mathbf{F}}{m}$$

这表明物体的加速度方向与合力方向保持一致，大小与合力成正比，与质量成反比。

实例分析：一辆汽车在向前行驶时，发动机提供推动力，车轮与地面之间的摩擦力则产生反作用力。根据第二定律，发动机提供的净推力决定了汽车的加速度。

2.1.3 牛顿第三定律（作用与反作用定律）

牛顿第三定律指出，每一个作用力都有一个大小相等、方向相反的反作用力。即对于任意两个物体，物体A作用在物体B上的力 ${\mathbf{F}}_{AB}$ 与物体B作用在物体A上的力 ${\mathbf{F}}_{BA}$ 满足：

$${\mathbf{F}}_{AB}=-{\mathbf{F}}_{BA}$$

这一原理解释了力的相互性，是理解复杂力学系统相互作用的关键。

实例分析：当我们用手推墙时，手对墙施加一个力，同时墙也对手施加一个大小相等但方向相反的力。这就是我们感受到的推墙阻力。

2.1.4 定律之间的联系与应用

牛顿三大定律相辅相成，共同描述了物体在力的作用下的运动规律。在实际应用中，我们常常结合这些定律来解决复杂的动力学问题。例如，在分析一个物体在不同力场中的运动时，首先利用第一定律确定是否存在加速度，然后通过第二定律计算具体的加速度值，最后运用第三定律理解力与反力的相互作用。

综合实例：考虑一个滑翔机在空中飞行。根据第一定律，若无外力作用，滑翔机将保持匀速直线飞行。空气阻力和重力作为外力作用于滑翔机，根据第二定律，可以计算其加速度和速度变化。与此同时，滑翔机对空气施加一个向下的力，空气则对滑翔机施加一个向上的反作用力，保证了平衡状态的维持。

通过对牛顿三大定律的深入理解和灵活应用，我们能够更加准确地描述和预测物体在各种力场中的运动行为，为后续的动力学研究奠定坚实的基础。

2.2 动量与能量

动量与能量是描述物体运动状态的两个基本量，它们在物理学中扮演着至关重要的角色。本节将详细探讨线动量、角动量及其守恒定律，同时深入解析机械能的构成，包括动能与势能，并阐述能量守恒定律在多种物理系统中的应用。

2.2.1 线动量

线动量是物体运动状态的量度，其定义为物体的质量与速度的乘积。具体而言，对于质量为 $m$、速度为 $\mathbf{v}$ 的物体，其线动量 $\mathbf{p}$ 表示为：

$$\mathbf{p}=m\mathbf{v}$$

线动量是一个矢量，具有方向和大小。它反映了物体运动状态的惯性特性。在分析系统中多个物体的运动时，线动量提供了一个统一的描述方式。

2.2.2 线动量守恒定律

线动量守恒定律是经典力学中的基本定律之一。它指出，在一个没有外力作用的封闭系统中，总线动量保持不变。数学表达为：

$$\sum {\mathbf{p}}_{\text{初}}=\sum {\mathbf{p}}_{\text{末}}$$

详细推导：

假设在时间间隔 $\Delta t$ 内，系统内各物体受到的内力满足牛顿第三定律，即作用力与反作用力相等且方向相反。这意味着内力对整个系统的净影响为零。因此，根据牛顿第二定律，系统的总线动量变化量为：

$$\Delta \mathbf{p}={\mathbf{F}}_{\text{外}}\Delta t$$

若系统不受外力作用，即 ${\mathbf{F}}_{\text{外}}=0$，则：

$$\Delta \mathbf{p}=0\Rightarrow \sum {\mathbf{p}}_{\text{初}}=\sum {\mathbf{p}}_{\text{末}}$$

这一结果表明在无外力作用下，系统的总线动量保持不变。

实例分析：考虑两球碰撞的情形。在碰撞前，两球的总动量为 ${\mathbf{p}}_1+{\mathbf{p}}_2$，碰撞后总动量为 ${\mathbf{p}}_1^{\prime }+{\mathbf{p}}_2^{\prime }$。由于碰撞过程中外力可以忽略不计，根据动量守恒定律，有：

$${\mathbf{p}}_1+{\mathbf{p}}_2={\mathbf{p}}_1^{\prime }+{\mathbf{p}}_2^{\prime }$$

2.2.3 角动量

角动量描述物体绕某一固定点或轴的旋转运动状态。对于相对于某点 $O$ 的质点，其角动量 $\mathbf{L}$ 定义为位置矢量 $\mathbf{r}$ 与动量 $\mathbf{p}$ 的叉积：

$$\mathbf{L}=\mathbf{r}\times \mathbf{p}=m(\mathbf{r}\times \mathbf{v})$$

角动量同样是一个矢量，表示旋转的方向和大小。对于刚体系统，角动量的计算会涉及转动惯量和角速度。

2.2.4 角动量守恒定律

角动量守恒定律指出，在没有外力矩作用的封闭系统中，总角动量保持不变。数学表达为：

$$\sum {\mathbf{L}}_{\text{初}}=\sum {\mathbf{L}}_{\text{末}}$$

详细推导：

类似于线动量守恒的推导，假设系统中各件物体之间的内力矩满足作用与反作用定律，则内力矩的总和为零。根据角动量的定义，系统的总角动量随时间的变化率等于外力矩的总和：

$$\frac{d\mathbf{L}}{dt}={\mathbf{M}}_{\text{外}}$$

当系统不受外力矩作用时，${\mathbf{M}}_{\text{外}}=0$，因此：

$$\frac{d\mathbf{L}}{dt}=0\Rightarrow \sum {\mathbf{L}}_{\text{初}}=\sum {\mathbf{L}}_{\text{末}}$$

实例分析：陨石撞击地球的情况。若忽略地球的自转和外力矩的影响，陨石与地球系统的角动量在撞击前后保持不变，从而影响系统的旋转状态。

2.2.5 机械能

机械能是系统中动能和势能的总和。动能反映了物体的运动能力，而势能则反映了物体所处位置的能量储备。对于质点系统，机械能 $E$ 定义为：

$$E=T+V$$

其中，$T$ 表示动能，$V$ 表示势能。

2.2.5.1 动能

动能描述了物体因运动而具备的能量。对于速度为 $\mathbf{v}$ 的质点，其动能 $T$ 为：

$$T=\frac{1}{2}m{v}^2$$

2.2.5.2 势能

势能描述了物体因其位置或状态而具备的能量。常见的势能类型包括引力势能、弹性势能等。例如，在重力场中，势能 $V$ 为：

$$V=mgh$$

其中，$h$ 为高度。

2.2.6 能量守恒定律

能量守恒定律指出，在一个不受外力做功的系统中，总能量保持不变。即：

$$E_{\text{初}}=E_{\text{末}}$$

这一原理适用于各种机械系统，尤其在分析系统运动时提供了强有力的工具。

详细推导：

从牛顿第二定律出发，考虑一个物体在力 $\mathbf{F}$ 下的运动，其做功 $W$ 可以表示为：

$$W=\int \mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}$$

根据动能定理，做功等于动能的变化：

$$W=\Delta T=T_{\text{末}}-T_{\text{初}}$$

若系统不受非保守力作用，功 $W$ 可以表示为势能的变化：

$$W=-\Delta V=V_{\text{初}}-V_{\text{末}}$$

结合上述两式，得到：

$$\Delta T+\Delta V=0\Rightarrow (T_{\text{末}}+V_{\text{末}})-(T_{\text{初}}+V_{\text{初}})=0\Rightarrow E_{\text{末}}=E_{\text{初}}$$

实例分析：摆动的单摆。当摆球从最高点摆动到最低点时，重力势能逐渐转化为动能。假设忽略空气阻力和摩擦力，系统的总机械能保持不变。因此，通过能量守恒定律，可以计算摆球在任意点的速度或高度。

2.2.7 不同系统中的能量守恒应用

能量守恒定律在分析各种物理系统中具有广泛应用。例如：

• 弹簧振子：系统的动能与弹性势能在振动过程中不断转换，但总机械能保持不变。

  $$E=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}k{x}^2$$

• 天体运动：行星在引力场中的运动遵循能量守恒定律，通过能量的转换描述轨道形状和速度变化。

• 碰撞过程：在保守力场中，弹性碰撞满足能量守恒，而非弹性碰撞中部分动能转化为其他形式的能量。

2.3 功与功率

在力学中，功和功率是描述力对物体作用效果的两个关键物理量。它们不仅揭示了力与物体运动之间的关系，还在能源转换和机械效率的分析中起到核心作用。本节将深入探讨功与功率的定义、计算方法以及在不同物理情境下的应用。

2.3.1 功的定义

功是力在物体运动过程中所做的能量转化量，用以量化力对物体运动状态的改变。具体来说，当一个恒定力 $\mathbf{F}$ 作用在物体上，并使物体发生位移 $\mathbf{s}$ 时，力所做的功 $W$ 定义为：

$$W=\mathbf{F}\cdot \mathbf{s}=Fs\cos \theta$$

其中，$\theta$ 是力 $\mathbf{F}$ 与位移 $\mathbf{s}$ 之间的夹角。这个公式表明，只有力在位移方向上有分量时，才会对物体做功。

功的符号意义：

• 当 $\cos \theta >0$ 时，功为正，表示力在物体运动方向上做正功，如推动物体前进。
• 当 $\cos \theta <0$ 时，功为负，表示力在物体运动方向上做负功，如刹车使汽车减速。
• 当 $\cos \theta =0$ 时，功为零，表示力与位移垂直，如向上举起物体时的水平力。

2.3.2 功的详细推导与解释

考虑一个物体在曲线上运动，力 $\mathbf{F}$ 随位置变化而变化。此时，应使用积分形式定义功：

$$W={\int }_{{\mathbf{r}}_1}^{{\mathbf{r}}_2}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$

其中，$d\mathbf{r}$ 是物体沿路径的微小位移向量。这个积分表示力在整个运动路径上对位移的累积效果。

实例：恒定力下的功

假设一个恒定力 $\mathbf{F}$ 作用在物体上，使其沿直线位移 $\mathbf{s}$。由于力不变，功的计算简化为：

$$W=\mathbf{F}\cdot \mathbf{s}=Fs\cos \theta$$

2.3.3 功率的定义与计算

功率是单位时间内所做功的量，用以描述能量转化的快慢。功率 $P$ 的定义为：

$$P=\frac{dW}{dt}$$

对于恒定功的情况下，功率可以表示为：

$$P=\frac{W}{\Delta t}=\frac{\mathbf{F}\cdot \mathbf{s}}{\Delta t}$$

结合速度的概念 $\mathbf{v}=\frac{d\mathbf{s}}{dt}$，功率还可以表示为：

$$P=\mathbf{F}\cdot \mathbf{v}$$

这表明功率不仅取决于力和位移，还与物体运动的速度密切相关。

功率的物理意义：

• 高功率：意味着单位时间内有更多的能量被转化，如高性能发动机。
• 低功率：表示能量转化较慢，如缓慢移动的物体。

2.3.4 功的不同形式

功的形式多种多样，取决于力的性质和作用方式。以下是几种常见的功的形式：

1. 重力势功：

   当物体在重力场中移动，力为重力 ${\mathbf{F}}_g=m\mathbf{g}$，其做功为：

   $$W_g=mgh\cos \theta$$

   当物体垂直于重力方向上升或下降时，$\theta =0^{\circ }$ 或 $180^{\circ }$，功的大小分别为 $W_g=mgh$ 和 $W_g=-mgh$。

2. 弹性势功：

   在弹性力学中，当弹簧被拉伸或压缩，弹性力 $F_s=-kx$（胡克定律）做的功为：

   $$W_s={\int }_0^x{F}_{s}dx=-\frac{1}{2}k{x}^2$$

   这个功代表弹簧内储存的弹性势能。

3. 摩擦力功：

   当摩擦力 ${\mathbf{F}}_f$ 阻碍物体运动时，做负功：

   $$W_f=-F_{f}s$$

   表明摩擦力将机械能转化为热能或其他形式的能量。

2.3.5 功率在实际中的应用

功率在工程和日常生活中有广泛的应用。例如：

• 机械设备：电动机和发电机的功率评估，用于确定设备的工作能力和效率。
• 运动科学：运动员的输出功率，评估训练效果和体能水平。
• 建筑工程：起重机等机械设备的功率计算，保证安全和高效运行。

示例：计算电动机功率

假设一台电动机对一个物体施加恒定力 $F=100\text{N}$，使物体以速度 $v=2\text{m/s}$ 移动，其功率为：

$$P=Fv=100\text{N}\times 2\text{m/s}=200\text{W}$$

这意味着电动机每秒钟转化200焦耳的能量来维持物体的运动。

第三章 拉格朗日力学

拉格朗日力学作为经典力学的重要分支，以其更为普遍和优雅的表述方式，为我们理解复杂系统的动力学行为提供了强大的工具。本节将通过动能和势能的表达，详细推导拉格朗日方程，并深入探讨广义坐标的选择对简化问题的重要性。

3.1 拉格朗日方程的推导

首先，考虑一个由 $n$ 个广义坐标 $q_1,q_2,\dots ,q_n$ 描述的系统，每个广义坐标对应着系统的一个自由度。系统的动能 $T$ 和势能 $V$ 分别表达为广义坐标及其时间导数的函数，即 $T(q_i,{\dot{q}}_i,t)$ 和 $V(q_i,t)$。

拉格朗日量 $L$ 定义为动能与势能之差：

$$L=T-V$$

根据最小作用量原理，系统的运动轨迹是使作用量

$$S={\int }_{t_1}^{t_2}Ldt$$

取极值的路径。通过对作用量进行变分，并要求变分 $\delta S=0$，我们可以得到系统的运动方程。

具体推导过程如下：

1. 系统的虚位移：考虑广义坐标的微小变化 $\delta q_i$，在固定的时间起点和终点下，有 $\delta q_i(t_1)=\delta q_i(t_2)=0$。

2. 作用量的变分：

   $$\delta S=\delta {\int }_{t_1}^{t_2}L(q_i,{\dot{q}}_i,t)dt={\int }_{t_1}^{t_2}\left(\frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}\delta {\dot{q}}_i\right)dt$$

3. 分部积分：第二项进行分部积分，并利用边界条件 $\delta q_i(t_1)=\delta q_i(t_2)=0$，得到：

   $$\delta S={\int }_{t_1}^{t_2}\left(\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}\right)\delta q_{i}dt$$

4. 拉格朗日方程：由于虚位移 $\delta q_i$ 是任意的，为使 $\delta S=0$ 成立，必须有：

   $$\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}=0$$

这即为著名的拉格朗日方程。它为描述系统的动力学提供了一组二阶微分方程，能够有效地处理复杂约束条件下的运动问题。

广义坐标的选择 是使用拉格朗日力学的一大优势。适当的广义坐标能够显著简化问题，使得拉格朗日方程更加便于求解。例如，在分析旋转对称系统时，选用极坐标或球坐标可以更直观地描述系统行为，减少方程的复杂性。

实例分析：

考虑一个简谐振子，其动能和势能分别为：

$$T=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2,V=\frac{1}{2}k{x}^2$$

拉格朗日量为：

$$L=T-V=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2-\frac{1}{2}k{x}^2$$

应用拉格朗日方程：

$$\frac{\partial L}{\partial x}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=-kx-m\ddot{x}=0\Rightarrow m\ddot{x}+kx=0$$

这正是简谐振子的运动方程，验证了拉格朗日力学的有效性。

通过对拉格朗日方程的深入理解，我们能够更灵活地应对各类力学问题，尤其是在存在约束或复杂几何结构的系统中，拉格朗日力学展现出其独特的优势和广泛的应用前景。

3.2 保守力场与守恒量

在理论力学中，保守力场是指那些力的做功仅依赖于物体的初末位置，而与其运动路径无关的力场。在这样的力场中，系统的机械能（动能与势能之和）保持守恒。这一特性使得保守力场在简化和解决力学问题中具有重要意义。

3.2.1 保守力场的定义与特性

保守力场满足以下两个等价的条件：

1. 路径无关性：力在任何两点之间的做功只与初末位置有关，而与具体的运动路径无关。数学表达式为：
   $$W={\int }_{{\mathbf{r}}_1}^{{\mathbf{r}}_2}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}$$
   其中，$\mathbf{F}$ 是力，$\mathbf{s}$ 是位移。

2. 势能存在：存在一个标量函数势能$V(\mathbf{r})$，使得力可以表示为势能的负梯度：
   $$\mathbf{F}=-\nabla V$$

这两个条件是等价的，满足其中任意一个条件的力场都是保守力场。

3.2.2 能量守恒定律

在保守力场中，机械能$E$保持不变，定义为动能$T$与势能$V$的总和：
$$E=T+V=\text{常数}$$

动能$T$定义为：
$$T=\frac{1}{2}m{v}^2$$
其中，$m$是物体的质量，$v$是速度的大小。

势能$V$则取决于力场的具体形式，例如重力场中的重力势能或弹簧力中的弹性势能。

能量守恒的推导：

根据牛顿第二定律，物体在力场中的运动方程为：
$$m\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\mathbf{F}=-\nabla V$$
将等式两边与速度$\mathbf{v}$取点积：
$$m\mathbf{v}\cdot \frac{d\mathbf{v}}{dt}=-\mathbf{v}\cdot \nabla V$$
左边可以简化为动能对时间的导数：
$$m\mathbf{v}\cdot \frac{d\mathbf{v}}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m{v}^2\right)=\frac{dT}{dt}$$
右边则表示势能的变化率：
$$-\mathbf{v}\cdot \nabla V=-\frac{dV}{dt}$$
因此，得出能量守恒关系：
$$\frac{dT}{dt}+\frac{dV}{dt}=0\Rightarrow \frac{dE}{dt}=0\Rightarrow E=\text{常数}$$

这个推导表明，在保守力场中，机械能$E$保持恒定，动能与势能之间可以相互转换，但总能量不变。

3.2.3 动量守恒与角动量守恒

除了能量守恒，保守力场通常还伴随着其他守恒量，这些守恒量的存在依赖于力场的对称性。

3.2.3.1 动量守恒

线动量守恒是指在没有外力作用的情况下，系统的总线动量保持不变。具体来说，如果系统的力场对某个方向具有平移对称性，即力不随该方向的位置变化而变化，那么对应方向的线动量$P$守恒。

数学表达：
假设力场对$x$方向具有平移对称性，即势能$V$不依赖于$x$，即$\frac{\partial V}{\partial x}=0$，根据牛顿第二定律：
$$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-\frac{\partial V}{\partial x}=0\Rightarrow \frac{d^{2}x}{d{t}^2}=0$$
积分得到速度在$x$方向上为常数：
$$v_x=\frac{dx}{dt}=\text{常数}\Rightarrow P_x=m{v}_x=\text{常数}$$
这表明系统的线动量$P_x$在$x$方向上守恒。

3.2.3.2 角动量守恒

角动量守恒指在力矩为零的情况下，系统的总角动量保持不变。如果力场对某个轴具有旋转对称性，即力矩关于该轴为零，则对应方向的角动量$L$守恒。

数学表达：
角动量$\mathbf{L}$定义为：
$$\mathbf{L}=\mathbf{r}\times \mathbf{p}=m\mathbf{r}\times \mathbf{v}$$
在保守力场中，如果势能$V$对某个角坐标（如$\theta$）不依赖，即$\frac{\partial V}{\partial \theta }=0$，根据力矩定义：
$$\mathbf{\tau }=\mathbf{r}\times \mathbf{F}=-\mathbf{r}\times \nabla V=0$$
因此，角动量的时间导数为零：
$$\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{\tau }=0\Rightarrow \mathbf{L}=\text{常数}$$
这表明系统的角动量$\mathbf{L}$守恒。

3.2.4 守恒量的应用实例

1. 摆动的单摆：

   单摆是研究保守力场与守恒量的经典例子。在单摆系统中，重力提供了保守力场，势能为：
   $$V=mgh=mgL(1-\cos \theta )$$
   动能为：
   $$T=\frac{1}{2}m(L\dot{\theta }{)}^2$$
   系统的机械能为：
   $$E=T+V=\frac{1}{2}m{L}^2{\dot{\theta }}^2+mgL(1-\cos \theta )$$
   由于力场是保守的，机械能$E$守恒。这一性质允许我们通过能量守恒定律分析单摆的运动，而无需直接求解运动方程。

2. 弹簧振子：

   弹簧振子系统中的弹力是保守力，势能为：
   $$V=\frac{1}{2}k{x}^2$$
   动能为：
   $$T=\frac{1}{2}m{v}^2$$
   机械能为：
   $$E=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}k{x}^2$$
   由于力场是保守的，机械能$E$守恒。这一守恒性可以用来分析振子的振动周期和振幅变化。

3. 行星运动：

   行星在太阳引力场中的运动是受径向保守力场作用的例子。引力势能为：
   $$V=-\frac{GMm}{r}$$
   动能为：
   $$T=\frac{1}{2}m{v}^2$$
   机械能为：
   $$E=\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{GMm}{r}$$
   在无外力作用下，行星系统的机械能$E$守恒。这一守恒性是开普勒运动定律的重要基础，用于描述行星轨道的形状和速度变化。

3.2.5 利用守恒量简化力学问题的求解

守恒量的存在极大地简化了力学问题的求解过程。以下是几种常见的方法：

1. 能量分析法：

   通过机械能守恒，可以在不同位置之间建立能量关系，避免直接求解微分方程。例如，在单摆问题中，可以通过能量守恒确定摆球在任意位置的速度，而无需解运动方程。

2. 动量分析法：

   在具有平移对称性的系统中，线动量守恒允许我们分析系统的整体运动趋势。例如，在碰撞问题中，动量守恒定律能够确定碰撞后的速度分布。

3. 角动量分析法：

   对于具有旋转对称性的系统，角动量守恒可用于分析旋转速率和方向的变化。例如，在天体物理中，行星和卫星的角动量守恒用于解释自转和公转的关系。

综合应用实例：

考虑一个无摩擦的滑雪者在山坡上滑行。假设山坡可以视为二维平面，滑雪者在重力作用下运动。由于重力是保守力，机械能守恒。滑雪者的机械能转化关系为：
$$E=T+V=\frac{1}{2}m{v}^2+mgh=\text{常数}$$
通过能量守恒定律，可以在滑雪者的不同位置之间建立能量关系，进而求解速度或高度的变化，无需直接求解运动的微分方程。

此外，如果山坡的地形对某一方向具有对称性，线动量或角动量守恒定律还可以进一步简化问题，提供更多的信息用于求解。

3.3 多自由度系统

在实际工程和物理问题中，许多系统往往具备多个独立的运动自由度，这些系统被称为多自由度系统。相较于单自由度系统，多自由度系统的分析和求解更加复杂，但它们在描述现实世界中的振动现象、机械结构的动态响应等方面具有重要意义。本节将深入探讨多自由度系统的拉格朗日方程，解析耦合振动与模态分析的方法，并通过复合摆等实例，具体展示多自由度系统的动力学行为。

3.3.1 多自由度系统的基本概念

一个多自由度系统是指在一个系统中存在多个独立的坐标来描述其运动状态。设系统具有 $n$ 个广义坐标 $q_1,q_2,\dots ,q_n$，则该系统的动力学状态可以通过这些广义坐标的时间演化来完全描述。多自由度系统的复杂性主要体现在自由度之间的相互作用，即耦合。

3.3.2 拉格朗日方程在多自由度系统中的应用

拉格朗日力学为分析多自由度系统提供了系统而简洁的方法。对于一个具有 $n$ 个自由度的系统，其拉格朗日函数 $L$ 定义为系统的动能 $T$ 与势能 $V$ 之差：

$$L=T-V$$

拉格朗日方程对于每一个广义坐标 $q_i$ 都有对应的方程：

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0\text{for}i=1,2,\dots ,n$$

其中，${\dot{q}}_i$ 表示广义坐标 $q_i$ 对时间的导数，即广义速度。

3.3.3 耦合振动

在多自由度系统中，各个自由度之间可能存在相互作用，这种相互作用导致了耦合振动现象。耦合振动指的是系统中一个自由度的运动会影响到其他自由度的运动，导致整体系统的振动模式更加复杂。

示例：双摆系统：

考虑一个双摆系统，由两个串联的简单摆组成。设第一个摆的角位移为 ${\theta }_1$，第二个摆的角位移为 ${\theta }_2$。系统的动能和势能可以表示为：

$$T=\frac{1}{2}m{l}^2({\dot{\theta }}_1^2+{\dot{\theta }}_2^2+2{\dot{\theta }}_1{\dot{\theta }}_2\cos ({\theta }_1-{\theta }_2))$$

$$V=mgl(2-\cos {\theta }_1-\cos {\theta }_2)$$

通过拉格朗日方程，可以得到双摆的运动方程，这些方程显示了 ${\theta }_1$ 和 ${\theta }_2$ 之间的耦合关系，使得系统的振动行为难以用简单的谐振动描述。

3.3.4 模态分析

模态分析是研究多自由度系统振动特性的一个重要方法。通过模态分析，可以将复杂的耦合振动分解为多个正则模态，每个模态对应一个独立的振动模式，其对应的频率称为固有频率。

步骤如下：

1. 建立系统的拉格朗日函数：确定系统的动能 $T$ 和势能 $V$，形成拉格朗日函数 $L=T-V$。

2. 应用拉格朗日方程：对每一个广义坐标 $q_i$ 应用拉格朗日方程，得到系统的运动方程。

3. 线性化运动方程：假设振动幅度较小，利用泰勒展开将非线性项近似为线性项，得到线性运动方程。

4. 矩阵表示：将线性运动方程表示为矩阵形式：

   $$\mathbf{M}\ddot{\mathbf{q}}+\mathbf{K}\mathbf{q}=0$$

   其中，$\mathbf{M}$ 是质量矩阵，$\mathbf{K}$ 是刚度矩阵，$\mathbf{q}$ 是广义位移向量。

5. 特征值问题：求解特征值问题：

   $$\det (\mathbf{K}-{\omega }^2\mathbf{M})=0$$

   得到系统的固有频率 $\omega$ 和对应的模态形状。

6. 模态解的叠加：利用模态叠加原理，将系统的响应表示为各个模态的线性叠加。

示例-复合摆：

考虑一个简单的复合摆，由质量 $m$ 和长度 $l$ 的杆组成，杆的一端固定，另一端悬挂有质量 $m$。系统具有两个自由度：杆的倾斜角度 $\theta$ 和质量的横向位移 $x$。

系统的动能和势能分别为：

$$T=\frac{1}{2}m{l}^2{\dot{\theta }}^2+\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2$$

$$V=mgl(1-\cos \theta )+\frac{1}{2}k{x}^2$$

其中，$k$ 是质量受弹簧作用的刚度系数。

通过应用拉格朗日方程，可以建立系统的运动方程：

$$(m{l}^2)\ddot{\theta }+(klx)=0$$

$$(m)\ddot{x}+(kx+ml\ddot{\theta })=0$$

通过求解上述耦合方程，可以得到系统的固有频率和模态形状，从而全面理解复合摆的振动特性。

3.3.5 模态分析的优势

模态分析将复杂的多自由度系统振动问题简化为多个单自由度系统的振动问题，每个模态独立振动，极大地简化了分析过程。此外，模态分析在设计和优化机械结构、建筑抗震设计等领域具有广泛的应用价值。

声明

本文为作者在学习理论力学过程中所做的笔记，部分内容由AI辅助生成，仅供学习交流之用，准确性请以权威资料为准。