1 中文题目

给定一个正整数 $n$ ，生成一个包含 $1$ 到 $n^2$ 所有元素，且元素按顺时针顺序螺旋排列的 $nxn$ 正方形矩阵 matrix 。

示例：

python">输入：n = 3
输出：[[1,2,3],[8,9,4],[7,6,5]]
如上图所示。

python">输入：n = 1
输出：[[1]]

提示：

• $1\le n\le 20$

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2 求解方法：数理逻辑

2.1 方法思路

方法核心

使用四个边界变量控制螺旋方向，按照从左到右、从上到下、从右到左、从下到上的顺序依次填充数字，每填充完一条边就收缩相应的边界，直到填充完所有数字为止。

实现步骤
（1）初始化阶段：

• 创建 n x n 的空矩阵
• 设置四个边界变量
• 初始化填充数字为1

（2）螺旋填充过程：

• 按照固定的顺序填充四条边
• 每填充完一条边，更新对应的边界
• 持续填充直到所有数字用完

（3）边界更新规则：

• 填充完上边后，上边界下移
• 填充完右边后，右边界左移
• 填充完下边后，下边界上移
• 填充完左边后，左边界右移

（4）填充结束条件：

• 当填充数字超过$n^2$时停止，返回填充完成的矩阵

方法示例

以 n = 3 为例：

python">初始状态：
matrix = [[0,0,0],[0,0,0],[0,0,0]]
left = 0, right = 2
top = 0, bottom = 2
num = 1第一圈：
1. 填充上边 (left到right)：matrix = [[1,2,3],[0,0,0],[0,0,0]]top = 12. 填充右边 (top到bottom)：matrix = [[1,2,3],[0,0,4],[0,0,5]]right = 13. 填充下边 (right到left)：matrix = [[1,2,3],[0,0,4],[7,6,5]]bottom = 14. 填充左边 (bottom到top)：matrix = [[1,2,3],[8,0,4],[7,6,5]]left = 1最后一个数字：
填充中心位置：
matrix = [[1,2,3],[8,9,4],[7,6,5]]最终结果：
返回 [[1,2,3],[8,9,4],[7,6,5]]

2.2 Python代码

python">class Solution:def generateMatrix(self, n: int) -> List[List[int]]:# 初始化 n x n 的矩阵，填充0matrix = [[0] * n for _ in range(n)]# 定义四个方向的边界left, right = 0, n-1top, bottom = 0, n-1# 当前需要填充的数字num = 1# 循环直到填充完所有数字while num <= n*n:# 从左到右填充上边界for i in range(left, right + 1):matrix[top][i] = numnum += 1top += 1# 从上到下填充右边界for i in range(top, bottom + 1):matrix[i][right] = numnum += 1right -= 1# 从右到左填充下边界for i in range(right, left - 1, -1):matrix[bottom][i] = numnum += 1bottom -= 1# 从下到上填充左边界for i in range(bottom, top - 1, -1):matrix[i][left] = numnum += 1left += 1return matrix

2.3 复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n^2)$
  • 需要填充$n\times n$个格子
  • 每个格子只会被访问一次
  • 所有操作都是常数时间
• 空间复杂度：O(1)
  • 只使用了固定数量的变量

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3 题目总结

题目难度：中等
数据结构：数组
应用算法：数理逻辑