Numpy数组之间进行运算时，通常是逐元素之间进行运算，这通常要求数组具有相同的形状。而“广播（Broadcasting）”机制降低了这个限制，只需要满足一定的条件，形状不同的数组也可以进行运算，小数组会自动"广播"成和大数组相同的形状，完成运算。

一、广播的含义

广播是一种让不同形状数组间可以进行运算的机制。例如，一维数组a和标量b进行运算：

python">import numpy as np
a = np.array([1,2,3])
b = 2
a * b

图示如下，numpy会先检查标量b是否能广播成数组a的形状（此例可以），则numpy会将b"广播"成和a形状相同的一维数组，然后逐元素进行运算。注意这个广播只是一个逻辑上的操作，numpy并不会真正创建一个和a形状相同的数组b：

通过广播机制，此例在效果上等价于下面代码，a和b是形状相同的数组，逐元素进行运算：

python">import numpy as np
a = np.array([1,2,3])
b = np.array([2,2,2])
a * b

二、广播规则

上面的示例只是最简单的一维数组和标量，为了演示广播是什么。实际运算中，运算的参与者可能是多维数组，且维度可能不同。

2.1 可广播的前提

多维数组之间是否可以通过广播进行运算，需要逐位比较它们的形状（array.shape属性），从最末位开始，每个对应的位必须满足下面条件：元素数量相同或其中一个是1。

例如一个三维数组a的形状是(a1, a2, a3)，它和一个二维数组b，形状是(b1, b2)，从末尾开始逐位比较，即a3和b2比较，a2和b1比较：

• a3=b2 或 a3,b2至少有一个为1
• a2=b1 或 a2,b1至少有一个为1
  
  当上面2个条件都满足时，则a和b是可广播的，运算最后的结果为三维数组，每位上的元素个数取a,b对应位上的最大值，即最终形状是（a1, max(a2,b1), max(a3,b2)）。

2.2 广播示例

假设a的形状是(4,3,1)，b的形状是(1,2)，那么最终运算结果的形状就是(4,max(3,1),max(1,2))，即(4,3,2):

python">a = np.arange(12).reshape(4,3,1)
b = np.arange(2).reshape(1,2)
c = a * b
c.shape

假设b的形状是(2,2)，那么在形状的倒数第二位上，a是3，b是2，它们即不相等，也不满足其中一个是1，这两个形状是无法广播的，强行运算会报无法广播的错误：

python">a = np.arange(12).reshape(4,3,1)
b = np.arange(4).reshape(2,2)
c = a * b