二分查找算法
关于二分查找算法的介绍
1.特点：最恶心，细节最多，最容易写出死循环的算法
2.学习上的侧重点：
（1）算法原理
不可以单纯地理解为只能在数组有序的情况下使用
(2)模板
不能够死记硬背，要理解了之后记忆
模板有以下三种：
1）朴素的二分模板
2）查找左边界的二分模板
3）查找右边界的二分模板
注意点： 第一个模板简单，但是具有局限性，第二个和第三个模板是万能的，相对于第一个模板，细节更多
二分查找
给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。
示例 1:
输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9
输出: 4
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4
示例 2:
输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2
输出: -1
解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1
提示：
-
你可以假设
nums中的所有元素是不重复的。 -
n将在[1, 10000]之间。 -
nums的每个元素都将在[-9999, 9999]之间。算法流程：
a. 定义 left ， right 指针，分别指向数组的左右区间。
b. 找到待查找区间的中间点 mid ，找到之后分三种情况讨论：
i. arr[mid] == target 说明正好找到，返回 mid 的值；
ii. arr[mid] > target 说明 [mid, right] 这段区间都是⼤于 target 的，因此舍 去右边区间，在左边 [left, mid -1] 的区间继续查找，即让 right = mid - 1 ，然后重复 2 过程；
iii. arr[mid] < target 说明 [left, mid] 这段区间的值都是⼩于 target 的，因 此舍去左边区间，在右边 [mid + 1, right] 区间继续查找，即让 left = mid + 1 ，然后重复 2 过程；
c. 当 left 与 right 错开时，说明整个区间都没有这个数，返回 -1 。
暴力解法就是把所有元素遍历一遍，与目标值进行比较大小，二分查找法的优势在于二段性。
二分查找的时间复杂度大大降低
代码如下：
class Solution {
public:int search(vector<int>& nums, int target) {int left=0,right=nums.size()-1;while(left<=right){int mid=left+(right-left)/2;//为了防止溢出if(nums[mid]<target){left=mid+1;}else if(nums[mid]>target){right=mid-1;}else return mid;}return -1;}
};
总结模板：
这里两个条件是可以等价的，奇数的情况还不能看出明显区别，偶数的情况就要看情况，有可能出现两种情况，但是影响并不大
在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置
给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。
如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。
你必须设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。
示例 1：
输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出：[3,4]
示例 2：
输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出：[-1,-1]
示例 3：
输入：nums = [], target = 0
输出：[-1,-1]
提示：
0 <= nums.length <= 105-109 <= nums[i] <= 109nums是一个非递减数组-109 <= target <= 109
-
算法思路： ⽤的还是⼆分思想，就是根据数据的性质，在某种判断条件下将区间⼀分为⼆，然后舍去其中⼀个 区间，然后再另⼀个区间内查找；
⽅便叙述，⽤ x 表⽰该元素， resLeft 表⽰左边界， resRight 表⽰右边界。
寻找左边界思路：
• 寻找左边界： ◦ 我们注意到以左边界划分的两个区间的特点：
▪ 左边区间 [left, resLeft - 1] 都是⼩于 x 的；
▪ 右边区间（包括左边界） [resLeft, right] 都是⼤于等于 x 的；
• 因此，关于 mid 的落点，我们可以分为下⾯两种情况：
◦ 当我们的 mid 落在 [left, resLeft - 1] 区间的时候，也就是 arr[mid] < target 。说明 [left, mid] 都是可以舍去的，此时更新 left 到 mid + 1 的位置， 继续在 [mid + 1, right] 上寻找左边界；
◦ 当 mid 落在 [resLeft， right] 的区间的时候，也就是 arr[mid] >= target 。 说明 [mid + 1, right] （因为 mid 可能是最终结果，不能舍去）是可以舍去的，此时 更新 right 到 mid 的位置，继续在 [left, mid] 上寻找左边界；
• 由此，就可以通过⼆分，来快速寻找左边界； 注意：这⾥找中间元素需要向下取整。 因为后续移动左右指针的时候： 、
• 左指针： left = mid + 1 ，是会向后移动的，因此区间是会缩⼩的；
• 右指针： right = mid ，可能会原地踏步（⽐如：如果向上取整的话，如果剩下 1,2 两个元 素， left == 1 ， right == 2 ， mid == 2 。更新区间之后， left，right，mid 的 值没有改变，就会陷⼊死循环）。 因此⼀定要注意，当 right = mid 的时候，要向下取整。
寻找右边界思路：
• 寻右左边界：
◦ ⽤ resRight 表⽰右边界；
◦ 我们注意到右边界的特点：
▪ 左边区间 （包括右边界） [left, resRight] 都是⼩于等于 x 的；
▪ 右边区间 [resRight+ 1, right] 都是⼤于 x 的；
• 因此，关于 mid 的落点，我们可以分为下⾯两种情况：
◦ 当我们的 mid 落在 [left, resRight] 区间的时候，说明 [left, mid - 1] （ mid 不可以舍去，因为有可能是最终结果） 都是可以舍去的，此时更新 left 到 mid 的位置；
◦ 当 mid 落在 [resRight+ 1, right] 的区间的时候，说明 [mid, right] 内的元素 是可以舍去的，此时更新 right 到 mid - 1 的位置；
• 由此，就可以通过⼆分，来快速寻找右边界； 注意：这⾥找中间元素需要向上取整。 因为后续移动左右指针的时候：
• 左指针： left = mid ，可能会原地踏步（⽐如：如果向下取整的话，如果剩下 1,2 两个元 素， left == 1， right == 2，mid == 1 。更新区间之后， left，right，mid 的值 没有改变，就会陷⼊死循环）。
• 右指针： right = mid - 1 ，是会向前移动的，因此区间是会缩⼩的； 因此⼀定要注意，当 right = mid 的时候，要向下取整。
⼆分查找算法总结：
请⼤家⼀定不要觉得背下模板就能解决所有⼆分问题。
⼆分问题最重要的就是要分析题意，然后确定 要搜索的区间，根据分析问题来写出⼆分查找算法的代码。
要分析题意，确定搜索区间，不要死记模板，不要看左闭右开什么乱七⼋糟的题解
要分析题意，确定搜索区间，不要死记模板，不要看左闭右开什么乱七⼋糟的题解
要分析题意，确定搜索区间，不要死记模板，不要看左闭右开什么乱七⼋糟的题解
重要的事情说三遍。
模板记忆技巧：
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关于什么时候⽤三段式，还是⼆段式中的某⼀个，⼀定不要强⾏去⽤，⽽是通过具体的问题分析情 况，根据查找区间的变化确定指针的转移过程，从⽽选择⼀个模板。
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当选择两段式的模板时：
◦ 在求 mid 的时候，只有 right - 1 的情况下，才会向上取整（也就是 +1 取中间数）
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代码如下：
class Solution {
public:vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {//处理边界情况if(nums.size()==0) return{-1,-1};int begin=0;//二分处理左端点情况int left=0,right=nums.size()-1;while(left<right){int mid=left+(right-left)/2;if(nums[mid]<target) left=mid+1;else right=mid;}//处理结果if(nums[left]!=target) return {-1,-1};else begin=left;//标记左端点//二分右端点区间left=0,right=nums.size()-1;while(left<right){int mid=left+(right-left+1)/2;if(nums[mid]<=target) left=mid;else right=mid-1;}return {begin,right};}
};
