坐标系变换总结

二维情况下的转换

1 缩放变换

形象理解就是图像在x方向和y方向上放大或者缩小。
代数形式：
$\begin{cases} x' = k_x x \\ y' = k_y y \end{cases}$
矩阵形式：
$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k_x & 0 \\ 0 & k_y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
当 $k_x = k_y$ 时，是均匀缩放，两个方向同等比例地缩放。

当 $k_x = -1, k_y = 1$ ，是镜像变换，类似整个二维平面的图像以y轴为对称轴对称过去一样。

2 切变

平行力作用在物体上的形变
矩阵形式：
$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k_x & a \\ 0 & k_y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k_x x + ay \\ k_y y \end{pmatrix}$
x方向上位置坐标整体向右平移。

3 旋转

旋转是指绕着原点逆时针旋转 $\theta$ 的变换。
旋转矩阵如下：

$\begin{pmatrix} cos \theta & -sin\theta \\ sin \theta & cos \theta \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos \theta & -sin\theta \\ sin \theta & cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

旋转矩阵是正交阵（转置矩阵等于逆矩阵 $R^T = R^{-1}$ ）

正交矩阵性质：

转置等于逆，绕某个轴旋转 $\theta$ 的旋转矩阵的逆，就是绕同一轴旋转 $-\theta$
保持向量长度：作用于任何向量时，向量长度不变
列向量（行向量）正交且单位化

4 线性变换

线性变换的理解：参考 https://segmentfault.com/a/1190000041138293
线性映射是由向量空间 $V\rightarrow W$ 的映射，而线性变换是线性映射的一个特例，是由线性空间 $V$ 到其自身的映射。
通俗理解线性变换就是坐标轴经过 旋转，伸缩 等操作，原坐标轴上的点一同随着变化，然后这些点会在一个新的位置。
$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by \\ cy + dy \end{pmatrix}$
其中 $(a, c), (b, d)$ 是新的坐标系下的基方向上的向量。

线性变换的特点：

变换前是直线，变换后依然是直线
原点保持固定不动

举个例子：
原坐标轴x轴和y轴，两个基为 $i = (1, 0), j = (0, 1)$ ，这个轴上的某个向量为 $\overrightarrow A = (3,2)^T = 3i+2j$

在这里插入图片描述
现在坐标轴有一个线性变换，新的基为 $i^{'} = (1, - 2), j^{'} = (3, 0)$ ，此时得到的新的向量，但是它相对于基的关系还是不变的，即 $\overrightarrow A' = 3i' + 2j'$

新的 $\overrightarrow A'$ 在原坐标系（基）下的坐标可以通过矩阵乘法求得：

$\overrightarrow A' = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$

在这里插入图片描述
也就是说这个线性变换矩阵是由新的基向量（说基可能不准确，因为基要求模长为1）组成的列向量。

二维线性变换不涉及到平移变换，即二维下的仿射变换不是线性变换。

5 齐次坐标变换

平移变换无法用单独的矩阵相乘的形式表示，因此引入齐次坐标，增加一维。

二维坐标一般被表示为 $(x, y, w)$ ，w是一个非零的缩放因子，一般情况下取w=1

平移矩阵：平移(tx, ty)的齐次变换矩阵

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & tx \\ 0 & 1 & ty \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & tx \\ 0 & 1 & ty \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}$

6 仿射变换

一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换到另一个向量空间。
$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & t_x \\ c & d & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}$

7 组合变换

可以通过矩阵相乘，将多种变换组合在一起，只需将齐次坐标与最终的变换矩阵相乘即可。注意矩阵是从右向左计算的，矩阵是左乘。

可以将一个变换分解：让矩阵按照某一点进行旋转（先将旋转点平移到原点，然后再平移回去）

三维情况下的转换

1 线性齐次变换

变换矩阵如下：
$\begin{pmatrix} x_{1} & x_2 & x_{3} & 0 \\\ y_{1} & y_2 & y_{3} & 0 \\\ z_{1} & z_2 & z_{3} & 0 \\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2, z_2),(x_3,y_3,z_3)$ 是新的基向量，即要变换到的坐标系。
将点坐标左乘一个线性变换矩阵，通俗讲就是将原坐标系下的点通过旋转伸长等操作（转到新的坐标系下），求在新坐标系下点的坐标，这个坐标是相对于原坐标系而言的。