【信号与系统第三章】4、傅里叶变换

devtools/2024/9/25 15:28:09/

傅里叶级数和傅里叶变换意义和推导

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典型信号的傅里叶变换

一、单边指数信号

e^{-at}u(t)\overset{F}{\rightarrow}\frac{1}{a+j\omega }  ，  a>0

1、证明

2、信号图像

3、频谱图

二、冲激函数

\delta (t)\overset{F}{\rightarrow}1

1、证明

2、图像

三、常数函数

1\overset{F}{\rightarrow}2\pi \delta (\omega )

1、证明

关键点有两点：

（1）e^{j\omega N}-e^{-j\omega N}\rightarrow 2jsin\omega N

（2）\underset{N\underset{}{\rightarrow}+\infty }{lim}\frac{sin(\omega N)}{\omega }=\pi \delta (\omega )

四、方波

1、证明
右下角的sin应该改为Sa

五、Sa()函数

1、证明

六、阶跃函数

u(t)\overset{F}{\rightarrow}\frac{1}{j\omega }+\pi \delta (\omega )

1、证明

关键点：

\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{sin\omega t}{\omega}d\omega=\begin{cases} \pi & \text{ if } t >0 \\ -\pi& \text{ if } t <0 \end{cases}

七、余弦函数

cos(\omega_{c} t)\overset{F}{\rightarrow}\pi [\delta (\omega -\omega _{c})+\delta (\omega +\omega _{c})]

1、证明

利用傅里叶变换的频移性质。

2、图像

八、正弦函数

sin(\omega_{c} t)\overset{F}{\rightarrow}\frac{1}{2}[\delta (\omega -\omega _{c})+\delta (\omega +\omega _{c})]

1、证明

利用傅里叶变换的频移性质。

2、图像

吉布斯现象

待更新


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