AVL树与红黑树

devtools/2024/9/22 19:45:30/

目录

AVL树

AVL树节点的定义

AVL树的插入

AVL树的旋转

右单旋

左单旋

左右双旋

右左双旋

AVL树的验证

AVL树的性能

红黑树

红黑树的性质

红黑树节点的定义

红黑树结构

红黑树的插入操作

按照二叉搜索的树规则插入新节点

检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏

情况一

情况二

情况三

红黑树的验证

红黑树与AVL树的比较

红黑树的应用

AVL树

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查 找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。

但是存在这样一种方法:

当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右 子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均 搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树:

1.它的左右子树都是AVL树

2.左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

AVL树节点的定义

template<class T>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode(const T& data): _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr), _data(data), _bf(0){}AVLTreeNode<T>* _pLeft;   // 该节点的左孩子AVLTreeNode<T>* _pRight;  // 该节点的右孩子AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲T _data;int _bf;                  // 该节点的平衡因子
};

AVL树的插入

VL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么 AVL树的插入过程可以分为两步:

1.按照二叉搜索树的方式插入新节点

2. 调整节点的平衡因子

AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构， 使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种

1.新节点插入较高左子树的左侧---左左

右单旋

void _RotateR(PNode pParent)
{// pSubL: pParent的左孩子// pSubLR: pParent左孩子的右孩子，注意：该PNode pSubL = pParent->_pLeft;PNode pSubLR = pSubL->_pRight;// 旋转完成之后，30的右孩子作为双亲的左孩子pParent->_pLeft = pSubLR;// 如果30的左孩子的右孩子存在，更新亲双亲if(pSubLR)pSubLR->_pParent = pParent;// 60 作为 30的右孩子
pSubL->_pRight = pParent;// 因为60可能是棵子树，因此在更新其双亲前必须先保存60的双亲PNode pPParent = pParent->_pParent;// 更新60的双亲pParent->_pParent = pSubL;// 更新30的双亲pSubL->_pParent = pPParent;// 如果60是根节点，根新指向根节点的指针if(NULL == pPParent){_pRoot = pSubL;pSubL->_pParent = NULL;}else{// 如果60是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树if(pPParent->_pLeft == pParent)pPParent->_pLeft = pSubL;elsepPParent->_pRight = pSubL;}// 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子pParent->_bf = pSubL->_bf = 0;
}

2. 新节点插入较高右子树的右侧---右右

左单旋

实现及情况考虑可参考右单旋

3. 新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋

左右双旋

将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再 考虑平衡因子的更新。

// 旋转之前，60的平衡因子可能是-1/0/1，旋转完成之后，根据情况对其他节点的平衡因子进
行调整
void _RotateLR(PNode pParent)
{PNode pSubL = pParent->_pLeft;PNode pSubLR = pSubL->_pRight;// 旋转之前，保存pSubLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节
点的平衡因子int bf = pSubLR->_bf;// 先对30进行左单旋_RotateL(pParent->_pLeft);// 再对90进行右单旋_RotateR(pParent);if(1 == bf)pSubL->_bf = -1;else if(-1 == bf)pParent->_bf = 1;
}

4. 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋

右左双旋

参考右左双旋

总结：

假如以pParent为根的子树不平衡，即pParent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑

1. pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR 当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋 当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋

2. pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL 当pSubL的平衡因子为-1是，执行右单旋 当pSubL的平衡因子为1时，执行左右双旋

旋转完成后，原pParent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步

1. 验证其为二叉搜索树

如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树

2. 验证其为平衡树

每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)

节点的平衡因子是否计算正确

int _Height(PNode pRoot);
bool _IsBalanceTree(PNode pRoot)
{// 空树也是AVL树if (nullptr == pRoot) return true;// 计算pRoot节点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差int leftHeight = _Height(pRoot->_pLeft);int rightHeight = _Height(pRoot->_pRight);int diff = rightHeight - leftHeight;
// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者// pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树if (diff != pRoot->_bf || (diff > 1 || diff < -1))return false;// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树return _IsBalanceTree(pRoot->_pLeft) && _IsBalanceTree(pRoot-
>_pRight);}

AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这 样可以保证查询时高效的时间复杂度，即$log_2 (N)$。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操 作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时， 有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数 据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

红黑树

红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或 Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路 径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。

红黑树的性质

1. 每个结点不是红色就是黑色

2. 根节点是黑色的 

3. 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的 

4. 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均 包含相同数目的黑色结点 

5. 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)

红黑树节点的定义

// 节点的颜色
enum Color{RED, BLACK};
// 红黑树节点的定义
template<class ValueType>
struct RBTreeNode
{RBTreeNode(const ValueType& data = ValueType()，Color color = RED): _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr), _data(data), _color(color){}RBTreeNode<ValueType>* _pLeft;   // 节点的左孩子RBTreeNode<ValueType>* _pRight;  // 节点的右孩子RBTreeNode<ValueType>* _pParent; // 节点的双亲(红黑树需要旋转，为了实现简单给
出该字段)ValueType _data;            // 节点的值域Color _color;               // 节点的颜色
};

红黑树结构

为了后续实现关联式容器简单，红黑树的实现中增加一个头结点，因为跟节点必须为黑色，为了 与根节点进行区分，将头结点给成黑色，并且让头结点的 pParent 域指向红黑树的根节点，pLeft 域指向红黑树中最小的节点，_pRight域指向红黑树中最大的节点，如下

红黑树的插入操作

红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件，因此红黑树的插入可分为两步

按照二叉搜索的树规则插入新节点

template<class ValueType>
class RBTree
{//……bool Insert(const ValueType& data){PNode& pRoot = GetRoot();if (nullptr == pRoot){pRoot = new Node(data, BLACK);// 根的双亲为头节点pRoot->_pParent = _pHead;_pHead->_pParent = pRoot;}else{// 1. 按照二叉搜索的树方式插入新节点// 2. 检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏，//   若满足直接退出，否则对红黑树进行旋转着色处理}// 根节点的颜色可能被修改，将其改回黑色pRoot->_color = BLACK;_pHead->_pLeft = LeftMost();_pHead->_pRight = RightMost();return true;}
private:PNode& GetRoot(){ return _pHead->_pParent;}// 获取红黑树中最小节点，即最左侧节点PNode LeftMost();// 获取红黑树中最大节点，即最右侧节点PNode RightMost();
private:PNode _pHead;
};

检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏

因为新节点的默认颜色是红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何 性质，则不需要调整；但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连 在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论

情况一

 cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红

解决方式：将p,u改为黑，g改为红，然后把g当成cur，继续向上调整

情况二

cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转；

相反， p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋转

p、g变色--p变黑，g变红

情况三

cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

p为g的左孩子，cur为p的右孩子，则针对p做左单旋转；

相反， p为g的右孩子，cur为p的左孩子，则针对p做右单旋转 则转换成了情况2

红黑树的验证

红黑树的检测分为两步

1. 检测其是否满足二叉搜索树(中序遍历是否为有序序列)

2. 检测其是否满足红黑树的性质

bool IsValidRBTree()
{PNode pRoot = GetRoot();// 空树也是红黑树if (nullptr == pRoot)return true;// 检测根节点是否满足情况if (BLACK != pRoot->_color){cout << "违反红黑树性质二：根节点必须为黑色" << endl;return false;}// 获取任意一条路径中黑色节点的个数size_t blackCount = 0;
PNode pCur = pRoot;while (pCur){if (BLACK == pCur->_color)blackCount++;pCur = pCur->_pLeft;}// 检测是否满足红黑树的性质，k用来记录路径中黑色节点的个数size_t k = 0;return _IsValidRBTree(pRoot, k, blackCount);}
bool _IsValidRBTree(PNode pRoot, size_t k, const size_t blackCount)
{//走到null之后，判断k和black是否相等if (nullptr == pRoot){if (k != blackCount){cout << "违反性质四：每条路径中黑色节点的个数必须相同" << endl;return false;}return true;}// 统计黑色节点的个数if (BLACK == pRoot->_color)k++;// 检测当前节点与其双亲是否都为红色PNode pParent = pRoot->_pParent;if (pParent && RED == pParent->_color && RED == pRoot->_color){cout << "违反性质三：没有连在一起的红色节点" << endl;return false;}return _IsValidRBTree(pRoot->_pLeft, k, blackCount) && _IsValidRBTree(pRoot->_pRight, k, blackCount);}

红黑树与AVL树的比较

红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是O($log_2 N$)，红黑树不追 求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数， 所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红 黑树更多。

红黑树的应用

1. C++ STL库 -- map/set、mutil_map/mutil_set

2. Java 库

3. linux内核

4. 其他一些库


http://www.ppmy.cn/devtools/115618.html

相关文章

OpenMV与STM32之间的通信

OpenMV与STM32之间的通信

OpenMV与STM32之间的通信是嵌入式系统开发中常见的应用场景&#xff0c;尤其在需要结合机器视觉和复杂逻辑控制的系统中。OpenMV是一款开源的机器视觉模块&#xff0c;它基于MicroPython&#xff0c;具有图像采集和处理能力&#xff1b;而STM32则是一款功能强大的单片机&#x…
阅读更多...
Java面试篇基础部分-Synchronized关键字详解

Java面试篇基础部分-Synchronized关键字详解

Synchronized关键字用于对Java对象、方法、代码块等提供线程安全操作。Synchronized属于独占式的悲观锁机制，同时也是可重入锁。我们在使用Synchronized关键字的时候，可以保证同一时刻只有一个线程对该对象进行访问；也就是说它在同一个JVM中是线程安全的。   Java中的每个…
阅读更多...
《C++移动语义：解锁复杂数据结构的高效之道》

《C++移动语义：解锁复杂数据结构的高效之道》

在 C的编程世界中&#xff0c;移动语义是一项强大的特性&#xff0c;它能够在处理复杂数据结构如链表、树等时&#xff0c;极大地提高程序的性能和效率。理解并正确实现移动语义在这些复杂数据结构中&#xff0c;对于开发者来说至关重要。 一、移动语义简介 C11 引入了移动语…
阅读更多...
模板：JDBC 连接 MySQL 数据库

模板：JDBC 连接 MySQL 数据库

JDBC 连接 MySQL 数据库的代码不尽相同&#xff0c;这里提供以下几种模板&#xff0c;直接复制并简单修改参数即可&#xff08;前面的新建项目等步骤要准备好&#xff09;; 第一种&#xff1a; import java.sql.*;public class JdbcTest {//记得类名与文件名保持一致//1.加载…
阅读更多...
深度学习02-pytorch-08-自动微分模块

深度学习02-pytorch-08-自动微分模块

​​​​​​​ 其实自动微分模块&#xff0c;就是求相当于机器学习中的线性回归损失函数的导数。就是求梯度。 反向传播的目的&#xff1a; 更新参数&#xff0c; 所以会使用到自动微分模块。 神经网络传输的数据都是 float32 类型。 案例1: 代码功能概述&#xff1a; 该…
阅读更多...
染色算法的简单概述

染色算法的简单概述

问题1 问题描述 染色算法很简单。如果想知道 k 个寄存器够不够用&#xff0c;你只需要找到一个少于 k 条边的节点&#xff0c;把它从图中去掉。接着再找下一个少于 k 条边的节点&#xff0c;再去掉。如果最后整个图都被删掉了&#xff0c;那么这个图一定可以用 k 种颜色来染色…
阅读更多...
模仿抖音用户ID加密ID的算法MB4E，提高自己平台ID安全性

模仿抖音用户ID加密ID的算法MB4E，提高自己平台ID安全性

先看抖音的格式 对ID加密的格式 MB4EENgLILJPeQKhJht-rjcc6y0ECMk_RGTceg6JBAA 需求是 同一个ID 比如 413884936367560 每次获取得到的加密ID都是不同的&#xff0c;最终解密的ID都是413884936367560 注意这是一个加密后可解密原文的方式&#xff0c;不是单向加密 那么如下进行…
阅读更多...
软件卸载工具（windows系统）-geek

软件卸载工具（windows系统）-geek

有时候软件卸载会很麻烦&#xff0c;使用geek会比较方便。但是针对一些特别大的软件&#xff0c;geek也好像会稍微费点劲&#xff08;比如MATLAB2022A&#xff09;,不过针对一般常规软件的卸载&#xff0c;geek就可以有效地完全卸载了&#xff0c;使用方法也很简单&#xff0c;…
阅读更多...
最新文章

Copyright @ 2022~2023