第一章题目为 “Newton’s Equations in a Rotating Coordinate System”。这一章内容比较简单。这里只对一些书上没有交待，但是容易混淆的知识点做一些澄清。

一个位置变量 $A(t)$ 表示的是空间的一个点。这个点在不同的坐标系下表现形式是不同的。但是我们写 $A(t)$ 时不用说明 $A(t)$ 是在哪个坐标系下的。因为无论在哪个坐标系下都表示的是同一个点。
$$\mathbf{A}(t)={\mathbf{A}}^{\prime }(t)=A_1{\hat{\mathbf{e}}}_1+A_2{\hat{\mathbf{e}}}_2+A_3{\hat{\mathbf{e}}}_3=A_1^{\prime }{\hat{\mathbf{e}}}_1^{\prime }+A_2^{\prime }{\hat{\mathbf{e}}}_2^{\prime }+A_3^{\prime }{\hat{\mathbf{e}}}_3^{\prime }$$
一个速度变量$\mathbf{v}(t)=d\mathbf{A}(t)/dt$ 是与坐标系直接关联的。不同坐标系下速度是不同的。所以我们写速度时需要指明所在的坐标系，例如 ${\frac{dA(t)}{dt}|}_M$ 或者 ${\frac{dA(t)}{dt}|}_L$。 前面式子中 $L$ 表示实验室坐标系（静止坐标系），$M$ 表示运动坐标系。

$${\frac{d\mathbf{A}(t)}{dt}|}_L={\frac{d\mathbf{A}(t)}{dt}|}_M+A_1^{\prime }\frac{d{\hat{\mathbf{e}}}_1^{\prime }}{dt}+A_2^{\prime }\frac{d{\hat{\mathbf{e}}}_2^{\prime }}{dt}+A_3^{\prime }\frac{d{\hat{\mathbf{e}}}_3^{\prime }}{dt}$$
单位坐标向量求导后与原坐标向量还是有联系的：
$$\left(\begin{array}{c}{\dot{\hat{\mathbf{e}}}}_1^{\prime }\\ {\dot{\hat{\mathbf{e}}}}_2^{\prime }\\ {\dot{\hat{\mathbf{e}}}}_3^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& 0& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\hat{\mathbf{e}}}_1^{\prime }\\ {\hat{\mathbf{e}}}_2^{\prime }\\ {\hat{\mathbf{e}}}_3^{\prime }\end{array}\right)$$

上面的变换矩阵是反对称矩阵，因为单位向量互相有正交关系：
$$\begin{gathered} {\hat{\mathbf{e}}}_m^{\prime }\cdot {\hat{\mathbf{e}}}_n^{\prime }=0,m\ne n \\ \frac{d({\hat{\mathbf{e}}}_m^{\prime }\cdot {\hat{\mathbf{e}}}_n^{\prime })}{dt}={\dot{\hat{\mathbf{e}}}}_m^{\prime }{\hat{\mathbf{e}}}_n^{\prime }+{\hat{\mathbf{e}}}_m^{\prime }{\dot{\hat{\mathbf{e}}}}_n^{\prime }=0 \end{gathered}$$
所有有如下关系：
$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}{\frac{d\mathbf{A}(t)}{dt}|}_L& ={\frac{d\mathbf{A}(t)}{dt}|}_M+A_1^{\prime }\frac{d{\hat{\mathbf{e}}}_1^{\prime }}{dt}+A_2^{\prime }\frac{d{\hat{\mathbf{e}}}_2^{\prime }}{dt}+A_3^{\prime }\frac{d{\hat{\mathbf{e}}}_3^{\prime }}{dt}\\ & ={\frac{d\mathbf{A}(t)}{dt}|}_M+A_1^{\prime }(a_{12}{\hat{\mathbf{e}}}_2^{\prime }+a_{13}{\hat{\mathbf{e}}}_3^{\prime })+A_2^{\prime }(a_{21}{\hat{\mathbf{e}}}_1^{\prime }+a_{23}{\hat{\mathbf{e}}}_3^{\prime })+A_3^{\prime }(a_{31}{\hat{\mathbf{e}}}_1^{\prime }+a_{32}{\hat{\mathbf{e}}}_2^{\prime })\\ & ={\frac{d\mathbf{A}(t)}{dt}|}_M+(A_2^{\prime }{a}_{21}+A_3^{\prime }{a}_{31}){\hat{\mathbf{e}}}_1^{\prime }+(A_1^{\prime }{a}_{12}+A_3^{\prime }{a}_{32}){\hat{\mathbf{e}}}_2^{\prime }+(A_1^{\prime }{a}_{13}+A_2^{\prime }{a}_{23}){\hat{\mathbf{e}}}_3^{\prime }\\ & ={\frac{d\mathbf{A}(t)}{dt}|}_M+(-A_2^{\prime }{a}_{12}-A_3^{\prime }{a}_{13}){\hat{\mathbf{e}}}_1^{\prime }+(A_1^{\prime }{a}_{12}-A_3^{\prime }{a}_{23}){\hat{\mathbf{e}}}_2^{\prime }+(A_1^{\prime }{a}_{13}+A_2^{\prime }{a}_{23}){\hat{\mathbf{e}}}_3^{\prime }\\ & ={\frac{d\mathbf{A}(t)}{dt}|}_M+\left(\begin{array}{ccc}{\hat{\mathbf{e}}}_1^{\prime }& {\hat{\mathbf{e}}}_2^{\prime }& {\hat{\mathbf{e}}}_3^{\prime }\\ a_{23}& -a_{13}& a_{12}\\ A_1^{\prime }& A_2^{\prime }& A_3^{\prime }\end{array}\right)\\ & ={\frac{d\mathbf{A}(t)}{dt}|}_M+\omega \times \mathbf{A}\end{array}\end{array}$$
上面推导过程中定义了一个新的量：$\omega =\left(\begin{array}{ccc}{a}_{23}& -a_{13}& a_{12}\end{array}\right)$ 。 我们研究一下这个 $\omega$ 的物理意义。

$a_{23}$ 对应的是单位矢量 ${\hat{\mathbf{e}}}_2^{\prime }$ 运动时速度矢量在 ${\hat{\mathbf{e}}}_3^{\prime }$ 方向上的分量。以我们常见的 $x,y,z$ 坐标系为例，这个就是 $y$ 轴上单位矢量向上运动的速度分量。这个速度其实就是沿 $x$ 轴逆时针旋转角速度。所以 $a_{23}$ 就是 $x$ 方向的角速度的值。

$a_{13}$ 对应的是单位矢量 ${\hat{\mathbf{e}}}_1^{\prime }$ 运动时速度矢量在 ${\hat{\mathbf{e}}}_3^{\prime }$ 方向上的分量。这个就是 $x$ 轴上单位矢量向上运动的分量。这个运动其实就是沿 $y$ 轴顺时针旋转角速度。也就是 $y$ 方向角速度的负值。

类似的分析过程 $a_{12}$ 就是 $z$ 方向角动量值。 所以 $\omega$ 就是角速度矢量 ：
$$\omega =\left(\begin{array}{ccc}{a}_{23}& -a_{13}& a_{12}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{\omega }_x& {\omega }_y& {\omega }_z\end{array}\right)$$
其实我们也可以把 $\omega =\left(\begin{array}{ccc}{a}_{23}& -a_{13}& a_{12}\end{array}\right)$ 作为角速度矢量的定义式。当然这样定义后需要我们去验证这个矢量是否满足矢量的运算律，也就是是否满足矢量加法的平行四边形法则。

这里还可以多说几句，角速度是矢量这个结论不是显而易见的。角位移不是矢量，不满足加法的交换律。无限小的角位移可以定义为矢量，因为无限小的角位移满足矢量加法定律。角速度是与无限小角位移相关联的，所以也是矢量。

Introduction of the operator $\hat{D}$

定义两个算符，分别表示在两个坐标系下的求导操作：
$$\begin{gathered} {\hat{D}}_L={\frac{\partial }{\partial t}|}_L \\ {\hat{D}}_M={\frac{\partial }{\partial t}|}_M \end{gathered}$$
则有：
$${\hat{D}}_L\mathbf{A}={\hat{D}}_M\mathbf{A}+\omega \times \mathbf{A}$$
注意这里的 $\mathbf{A}$ 是任意的矢量。如果 $\mathbf{r}$ 表示位置矢量。那么有：
$$\begin{gathered} \mathbf{a}{|}_L=\ddot{\mathbf{r}}{|}_L={\hat{D}}_L\dot{\mathbf{r}}={\hat{D}}_L({\hat{D}}_L\mathbf{r})=({\hat{D}}_M+\omega \times )({\hat{D}}_M\mathbf{r}+\omega \times \mathbf{r}) \\ ={\hat{D}}_M^2\mathbf{r}+{\hat{D}}_M(\omega \times \mathbf{r})+\omega \times ({\hat{D}}_M\mathbf{r})+\omega \times \omega \times \mathbf{r} \\ ={\hat{D}}_M^2\mathbf{r}+({\hat{D}}_M\omega )\times \mathbf{r}+2\omega \times ({\hat{D}}_M\mathbf{r})+\omega \times \omega \times \mathbf{r} \end{gathered}$$

Formulation of Newton’s equation in the rotating coordinate system

牛顿第二定律可以表示为：
$$\begin{gathered} \mathbf{F}=m\mathbf{a}{|}_L=m\ddot{\mathbf{r}}{|}_M+\dot{\omega }{|}_M\times \mathbf{r}+2\omega \times \dot{\mathbf{r}}{|}_M+\omega \times \omega \times \mathbf{r} \\ m\ddot{\mathbf{r}}{|}_M=\mathbf{F}-\dot{\omega }{|}_M\times \mathbf{r}-2\omega \times \dot{\mathbf{r}}{|}_M-\omega \times \omega \times \mathbf{r} \end{gathered}$$
需要注意的是所有的速度和加速度都要标明是在哪个坐标系，但是位置矢量是与坐标系无关的。

Newton’s equations in systems with arbitrary relative motion

上面我们说过一个矢量 $\mathbf{A}$ 在不同坐标系下表现形式不同，但是都是同一个矢量。其实这个说法是不完全准确的。只有当两个坐标系的原点是重合的时候上述结论是正确的。之所以会这样就是因为单位矢量本身不含有这个矢量的起点所在位置的任何信息。

设 M 系的原点在 L系的坐标为 $\mathbf{R}$，这里的 M 系的原点指的是 M 系的旋转中心。那么 M 系的任意点 $\mathbf{r}’$ 在 L 系中的位置矢量为 $\mathbf{r}=\mathbf{R}+{\mathbf{r}}^{\prime }$ 。 注意式子中的矢量都是位置矢量，与坐标系是无关的。带入牛顿第二定律。
$$\begin{array}{rl}\mathbf{F}& =m\ddot{\mathbf{r}}{|}_L\\ & =m\ddot{\mathbf{R}}{|}_L+m\ddot{{\mathbf{r}}^{\prime }}{|}_L\\ & =m\ddot{\mathbf{R}}{|}_L+m\ddot{{\mathbf{r}}^{\prime }}{|}_M+\dot{\omega }{|}_M\times {\mathbf{r}}^{\prime }+2\omega \times \dot{{\mathbf{r}}^{\prime }}{|}_M+\omega \times \omega \times {\mathbf{r}}^{\prime }\end{array}$$
整理一下，可以得到：
$$m\ddot{{\mathbf{r}}^{\prime }}{|}_M=\mathbf{F}-m\ddot{\mathbf{R}}{|}_L-\dot{\omega }{|}_M\times {\mathbf{r}}^{\prime }-2\omega \times \dot{{\mathbf{r}}^{\prime }}{|}_M-\omega \times \omega \times {\mathbf{r}}^{\prime }$$