数学建模笔记—— 非线性规划

数学建模笔记—— 非线性规划

非线性规划

非线性规划是一种求解目标函数或约束条件中有一个或几个非线性函数的最优化问题的方法。运筹学的一个重要分支。20世纪50年代初,库哈(H.W.Kuhn)和托克(A.W.Tucker)提出了非线性规划的基本定理,为非线性规划奠定了理论基础。这一方法在工业、交通运输、经济管理和军事等方面有广泛的应用,特别是在“最优设计”方面,它提供了数学基础和计算方法,因此有重要的实用价值。

非线性规划模型特点:

  • 模型中至少一个变量是非线性,即包含 x 2 , e x , 1 x , sin ⁡ x , log ⁡ 2 x x^2,e^x,\frac1x,\sin x,\log_2x x2,ex,x1,sinx,log2x等形式
  • 线性规划有通用求准确解的方法(单纯形法),它的最优解只存在于可行域的边界上;非线性规划的最优解(若存在)可能在其可行域的任一点达到,目前非线性规划还没有适合各种问题的一般解法,各种方法都有其特定的适用范围

1. 模型原理

1.1 非线性规划的标准型

m i n f ( x ) s.t. { A x ≤ b , A e q ⋅ x = b e q (线性) c ( x ) ≤ 0 , C e q ( x ) = 0 (非线性) l b ≤ x ≤ u b min\quad f(x)\\\text{s.t.}\begin{cases}Ax\leq b, Aeq\cdot x=beq&\text{(线性)}\\c\big(x\big)\leq0, Ceq\big(x\big)=0&\text{(非线性)}\\lb\leq x\leq ub\end{cases} minf(x)s.t. Axb,Aeqx=beqc(x)0,Ceq(x)=0lbxub(线性)(非线性)

1.2 非线性规划求解的Matlab函数

f m i n c o n fmincon fmincon函数: [ x f v a l ] = f m i n c o n ( f u n , x 0 , A , b , A e q , b e q , l b , u b , n o n l c o n , o p t i o n ) [x\:fval]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,option) [xfval]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,option)

  • f u n : fun: fun把目标函数定义为一个单独的函数文件(min)
  • x 0 : x0: x0:决策变量的初始值
  • A , b : A, b: A,b: 线性约束的不等式变量系数矩阵和常数项矩阵 ≤ 或 < \le或< <
  • A e q , b e q : Aeq, beq: Aeq,beq: 线性约束的等式变量系数矩阵和常数项矩阵
  • l b , u b : lb, ub: lb,ub:决策变量的最小取值和最大取值
  • n o n l c o n : nonlcon: nonlcon:非线性约束,包括不等式和等式
  • o p t i o n : option: option:求解非线性规划使用的方法

注意:

  • 非线性规划中对于初始值 x 0 x0 x0的选取非常重要,因为非线性规划的算法求解出来的是一个局部优化解。如果要求全局最优解,有两个思路:

    • 给定不同初始值,在里面找到一个最优解;

    • 先用蒙特卡罗模拟,得到一个蒙特卡罗解,然后将这个解作为初始值来求最优解。

  • o p t i o n option option选项可以给定求解的算法,一共有五种,interior-point(内点法)trust-region-reflective(信赖域反射法)sqp(序列二次规划法)sqp-legacy(约束非线性优化算法)active-set (有效集法)。不同的算法有其各自的优缺点和适用情况,我们可以改变求解的算法来对比求解的结果。

  • $ fun $表示目标函数,我们要编写一个独立的”m文件“储存目标函数

  • n o n l c o n nonlcon nonlcon表示非线性部分的约束,也要编写一个独立的”m文件“存储非线性约束条件

  • 决策变量的下表要改括号,比如 x 1 x_1 x1要改为 x ( 1 ) x(1) x(1),matlab才能识别

  • 若不存在某种约束,可以用”[]“代替,若后面全为"[]“且option使用默认,后面的”[]"可以省略

2. 典型例题

选址问题:

临时料场: A ( 5 , 1 ) A( 5, 1) A(5,1), A ( 2 , 7 ) ; A( 2, 7) ; A(2,7);日储量各20吨

工地位置坐标及日需求量
横坐标1.258.750.55.7537.25
纵坐标1.250.754.7556.57.25
日需求量3547611

(1)试制定每天的供应计划,即从两料场分别向各工地运送多少吨水泥,使总的地千米数最小?

(2)为了进一步减少吨千米数,打算舍弃两个临时料场,改建两个新的,日储量各为20吨,问应建在何处,节省的吨千米数为多大?

  1. 确定决策变量

    设第 i i i个工地的坐标 ( a i , b i ) (a_i,b_i) (ai,bi),水泥日用量 d i , i = 1 , 2 , … , 6 d_i,i=1,2,\dots,6 di,i=1,2,,6,料场位置 ( x j , y j ) (x_j,y_j) (xj,yj),日储量 e j , j = 1 , 2 e_j,j=1,2 ej,j=1,2;从料场 j j j向工地 i i i的运送量为 x i j x_{ij} xij

  2. 确定约束条件

    • 料场水泥运输总量不超过其日储量: ∑ i = 1 6 x i j ≤ e j , j = 1 , 2 \sum_{i=1}^{6}x_{ij}\leq e_{j} ,j=1 ,2 i=16xijej,j=1,2
    • 两个料场向某工地运输量之和等于该工地水泥日用量: ∑ j = 1 2 x i j = d i , i = 1 , 2 , ⋯ , 6 \sum_{j=1}^{2}x_{ij}=d_{i} ,i=1 ,2 ,\cdots,6 j=12xij=di,i=1,2,,6
  3. 确定目标函数

    求总吨千米数最小,即运送量乘运送距离求和最小: min ⁡ f = ∑ j = 1 2 ∑ i = 1 6 x i j ( x j − a i ) 2 + ( y j − b i ) 2 \min f=\sum_{j=1}^{2}\sum_{i=1}^{6}x_{ij}\sqrt{\left(x_{j}-a_{i}\right)^{2}+\left(y_{j}-b_{i}\right)^{2}} minf=j=12i=16xij(xjai)2+(yjbi)2

  4. 建立模型
    m i n f = ∑ j = 1 2 ∑ i = 1 6 x i j ( x j − a i ) 2 + ( y j − b i ) 2 s . t . { ∑ i = 1 6 x i j ≤ e j , j = 1 , 2 ∑ j = 1 2 x i j = d i , i = 1 , 2 , … , 6 x i j ≥ 0 , i = 1 , 2 , … , 6 ; j = 1 , 2 \begin{aligned}&min\quad f=\sum_{j=1}^{2}\sum_{i=1}^{6}x_{ij}\sqrt{\left(x_{j}-a_{i}\right)^{2}+\left(y_{j}-b_{i}\right)^{2}}\\&s.t.\begin{cases}\sum_{i=1}^{6}x_{ij}\leq e_{j},j=1,2\\\sum_{j=1}^{2}x_{ij}=d_{i},i=1,2,\ldots,6\\x_{ij}\geq0,i=1,2,\ldots,6;j=1,2\end{cases}\end{aligned} minf=j=12i=16xij(xjai)2+(yjbi)2 s.t. i=16xijej,j=1,2j=12xij=di,i=1,2,,6xij0,i=1,2,,6;j=1,2

  5. 求解

    • 对于第一问:因料场位置已知,故决策变量仅为 x i j x_{ij} xij,为线性规划模型

    • 对于第二问:新料场位置未知,所以 x j x_j xj y j y_j yj均为变量,且不是线性的,故为非线性规划模型

    • 共有8个约束
      m i n f = ∑ j = 1 2 ∑ i = 1 6 x i j ( x j − a i ) 2 + ( y j − b i ) 2 s . t . { ∑ i = 1 6 x i j ≤ e j , j = 1 , 2 ( x 11 + x 21 + … + x 61 ≤ e 1 , x 12 + x 22 + … + x 62 ≤ e 2 ) ∑ j = 1 2 x i j = d i , i = 1 , 2 , … , 6 ( x 11 + x 12 = d 1 , … , x 61 + x 62 = d 6 ) x i j ≥ 0 , i = 1 , 2 , … , 6 ; j = 1 , 2 \begin{aligned}&min\quad f=\sum_{j=1}^{2}\sum_{i=1}^{6}x_{ij}\sqrt{\left(x_{j}-a_{i}\right)^{2}+\left(y_{j}-b_{i}\right)^{2}}\\ &s.t.\begin{cases}\sum_{i=1}^{6}x_{ij}\leq e_{j},j=1,2\left(x_{11}+x_{21}+\ldots+x_{61}\leq e_{1},x_{12}+x_{22}+\ldots+x_{62}\leq e_{2}\right)\\ \sum_{j=1}^{2}x_{ij}=d_{i},i=1,2,\ldots,6\begin{pmatrix}x_{11}+x_{12}=d_1,\ldots, x_{61}+x_{62}=d_6\end{pmatrix}\\ x_{ij}\geq0,i=1,2,\ldots,6;j=1,2\end{cases}\end{aligned} minf=j=12i=16xij(xjai)2+(yjbi)2 s.t. i=16xijej,j=1,2(x11+x21++x61e1,x12+x22++x62e2)j=12xij=di,i=1,2,,6(x11+x12=d1,,x61+x62=d6)xij0,i=1,2,,6;j=1,2
      注意:在matlab里这些双角标的变量要改为单角标的变量,如 x 11 → x 1 , x 21 → x 2 , … , x 62 → x 12 x_{11}\to x_{1} ,\quad x_{21}\to x_{2} ,\quad\ldots ,\quad x_{62}\to x_{12} x11x1,x21x2,,x62x12

matlab_132">3. matlab代码求解

3.1 例1 一个简单示例

求解:
m i n y = x 1 2 + x 2 2 − x 1 x 2 − 2 x 1 − 5 x 2 , s . t . { − ( x 1 − 1 ) 2 + x 2 ≥ 0 , 2 x 1 − 3 x 2 + 6 ≥ 0 \begin{aligned}&min\quad\mathrm{y}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}-2x_{1}-5x_{2},\\&\mathrm{s.t.}\begin{cases}-\left(x_1-1\right)^2+x_2\geq0,\\2x_1-3x_2+6\geq0\end{cases}\end{aligned} miny=x12+x22x1x22x15x2,s.t.{(x11)2+x20,2x13x2+60
非线性规划的目标函数fun1.m:

matlab">function f=fun1(x)
%FUN1 非线性规划的目标函数
%   这里的f实际上就是目标函数,函数的返回值也是f
%   输入值x实际上就是决策向量,由x1和x2组成的向量
% min f(x)=x1^2+x2^2-x1*x2-2x1-5x2f=x(1)^2+x(2)^2-x(1)*x(2)-2*x(1)-5*x(2);
end

非线性规划中的非线性约束nonlfun1.m:

matlab">function [c ceq]=nonlfun1(x)
%NONLFUN1 非线性规划中的非线性约束,c为非线性不等式约束,ceq为非线性等式约束
%   输入值x为决策变量
%   返回值为 c(非线性不等式约束),ceq(非线性等式约束)
%   -(x1-1)^2+x2>=0c=(x(1)-1)^2-x(2);ceq=[];
end

给定任意初始值进行求解:

matlab">clear;
clc;
format long g %将matlab的计算结果显示为一般的长数字格式(默认保留两位小数或者使用科学计数法)
% min f(x)=x1^2+x2^2-x1*x2-2x1-5x2
% s.t. -(x1-1)^2+x2>=0; 2x1-3x2+6>=0
x0=[0 0];%任意给定一个初始值
A=[-2 3];
b=6;
disp("使用内点法求解:")
[x,fval]= fmincon(@fun1,x0,A,b,[],[],[],[],@nonlfun1)% 默认使用内点法
disp("使用SQP求解:")
option=optimoptions('fmincon','Algorithm','sqp');
[x,fval]= fmincon(@fun1,x0,A,b,[],[],[],[],@nonlfun1,option)

输出:

使用内点法求解:找到满足约束的局部最小值。优化已完成,因为目标函数沿
可行方向在最优性容差值范围内呈现非递减,
并且在约束容差值范围内满足约束。<停止条件详细信息>x =2.99941592955142          3.99922426270024fval =-12.9999995101786使用SQP求解:找到满足约束的局部最小值。优化已完成,因为目标函数沿
可行方向在最优性容差值范围内呈现非递减,
并且在约束容差值范围内满足约束。<停止条件详细信息>x =3.00000000090774          4.00000000060516fval =-13

使用蒙特卡罗的方法来找初始值在进行非线性规划求解:

matlab">%% 使用蒙特卡罗的方法来找初始值(推荐)
clc;
clear;
n=10000000;%生成的随机数组数
x1=unifrnd(-100,100,n,1); %生成在[-100,100]之间均匀分布的随机数组成n行1列的向量构成x1
x2=unifrnd(-100,100,n,1); %生成在[-100,100]之间均匀分布的随机数组成n行1列的向量构成x1
fmin=+inf; % 初始化函数f的最小值为正无穷
for i=1:nx=[x1(i),x2(i)];%构造x向量if ((x(1)-1)^2-x(2)<=0) && (-2*x1(i)-3*x2(i)-6<=0)result=x(1)^2+x(2)^2-x(1)*x(2)-2*x(1)-5*x(2);if result<fminfmin=result;x0=x;endend
end
disp("蒙特卡罗选取的初始值为:")
disp(x0)
A=[-2,3];
b=6;
[x,fval]= fmincon(@fun1,x0,A,b,[],[],[],[],@nonlfun1)

输出:

蒙特卡罗选取的初始值为:3.00156691366464          4.03556138516905找到满足约束的局部最小值。优化已完成,因为目标函数沿
可行方向在最优性容差值范围内呈现非递减,
并且在约束容差值范围内满足约束。<停止条件详细信息>x =2.9992425325257          3.99899914772717fval =-12.9999991826508

3.2 例2 选址问题

模型:
m i n f = ∑ j = 1 2 ∑ i = 1 6 x i j ( x j − a i ) 2 + ( y j − b i ) 2 s . t . { ∑ i = 1 6 x i j ≤ e j , j = 1 , 2 ∑ j = 1 2 x i j = d i , i = 1 , 2 , … , 6 x i j ≥ 0 , i = 1 , 2 , … , 6 ; j = 1 , 2 \begin{aligned}&min\quad f=\sum_{j=1}^{2}\sum_{i=1}^{6}x_{ij}\sqrt{\left(x_{j}-a_{i}\right)^{2}+\left(y_{j}-b_{i}\right)^{2}}\\&s.t.\begin{cases}\sum_{i=1}^{6}x_{ij}\leq e_{j},j=1,2\\\sum_{j=1}^{2}x_{ij}=d_{i},i=1,2,\ldots,6\\x_{ij}\geq0,i=1,2,\ldots,6;j=1,2\end{cases}\end{aligned} minf=j=12i=16xij(xjai)2+(yjbi)2 s.t. i=16xijej,j=1,2j=12xij=di,i=1,2,,6xij0,i=1,2,,6;j=1,2

1. 第一问 线性规划

代码:

matlab">%% 第一问:线性规划
clear
clc
% 6个工地坐标
a=[1.25 8.75 0.5 5.75 3 7.25];
b=[1.25 0.75 4.75 5 6.5 7.75];
% 临时料场位置
x=[5,2];
y=[1,7];
% 6个工地水泥日用量
d=[3 5 4 7 6 11];
% 计算目标函数系数,即六个工地与两个料场的距离,总共12个值
l=zeros([6,2]);
for i=1:6for j=1:2l(i,j)=sqrt((x(j)-a(i))^2+(y(j)-b(i))^2);end
end
f=[l(:,1);l(:,2)]; % 目标函数系数向量,共12个值
% 不等式约束条件的变量系数和常数项
% 双下标转换成单下标:x11=x1,x21=x2,...,x62=x12
A=[ 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1];
% 两个临时料场日储量
b=[20;20];% 矩阵的行数等于约束条件的个数,列是变量的个数
% 等式约束的变量系数和常数项
Aeq=[eye(6),eye(6)];
beq=[d(1);d(2);d(3);d(4);d(5);d(6)];
% 所有变量的下限全为0
Vlb=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];
disp("第一问:")
[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,Vlb)

输出:

第一问:找到最优解。x =3507010040610fval =136.227519883182
2. 第二问 非线性规划

非线性规划的目标函数fun2.m定义如下:

matlab">function f = fun2(x)
%FUN2 非线性规划的目标函数
%   这里的f实际上就是目标函数,函数的返回值也是f
%   输入值x实际上就是决策向量,由x1和x2组成的向量
% x前面12个是每个工地运输多少,后面四个为料场坐标
% 6个工地坐标
a=[1.25 8.75 0.5 5.75 3 7.25];
b=[1.25 0.75 4.75 5 6.5 7.75];
n=0;
f=0;
for j=13:2:16for i=1:6 n=n+1;f=f+x(n)*(sqrt((a(i)-x(j))^2+(b(i)-x(j+1))^2));end
end
end

求解代码:

matlab">%% 第二问 非线性规划
%注意,第二问中求新料场的位置,所以两个料场的横纵坐标也是变量,所以多了四个变量
% 对新坐标没有不等式约束,所以其不等式约束条件里面的系数为0
A2=[1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0];
B2=[20 ;20];
% 对新坐标也没有等式约束,所以相应项也为0
Aeq2=[eye(6),eye(6),zeros(6,4)];
beq2=[3 5 4 7 6 11]';
vlb2=[zeros(12,1);-inf;-inf;-inf;-inf];
% 非线性规划必须设置初始值,可以基于问题情况来设,设置rand()随机树等等
% 初始值设置为线性规划的计算结果,即临时料场的坐标
x0=[3 5 0 7 0 1 0 0 4 0 6 10 5 1 2 7]';
disp("第二问")
[x2,fval2]=fmincon(@fun2,x0,A2,B2,Aeq2,beq2,vlb2)
% 注意,若约束条件里面有非线性函数,可在fmincon里使用nonlcon项

输出:

第二问可能存在局部最小值。满足约束。fmincon 已停止,因为当前步长小于
步长容差值并且在约束容差值范围内满足约束。<停止条件详细信息>x2 =2.940992189650064.840558656820213.87793737832666.943070403079231.303130777556460.02206785079521080.05900781034994370.1594413431797950.1220626216734020.05692959692077314.6968692224435410.97793214920485.729798455203994.975789925150467.249999954976637.74999993108167fval2 =90.4919073875194

第二问中可以使用蒙特卡罗方法求得近似值作为初始值:

求解过程中的不等式约束函数constraint.m如下

matlab">function [g,k] = constraint(x)
%CONSTRAINT 不等式约束条件
%   sum(x(:,1:6),2)是对矩阵前6列按行求和,即对前6个元素求和
%   对于6个工地接收第一个料场的总量。再减去20,即把不等式右边常数项移到左边
g=[sum(x(:,1:6),2)-20sum(x(:,7:12),2)-20];
%   等式约束条件,6个工地从两个料场收到总量分别为3,5,4,7,6,11
k=[x(1)+x(7)-3x(2)+x(8)-5x(3)+x(9)-4x(4)+x(10)-7x(5)+x(11)-6x(6)+x(12)-11];
end

求解过程:

matlab">%% 若有条件,可使用蒙特卡罗法求一个近似的解作为初始值
p0=inf;
n=10^6;
ticfor i =1:n% 前12个数是6个工地从料场接收的量,不会超过日需求量,为了加速计算取整数% 后四个变量是料场的横纵坐标,根据题目工地的坐标都在0-9,这里也取该范围x_m=[randi(4)-1,randi(6)-1,randi(5)-1,randi(8)-1,randi(7)-1,randi(12)-1,...randi(4)-1,randi(6)-1,randi(5)-1,randi(8)-1,randi(7)-1,randi(12)-1,...9*rand(1,4)];% 约束条件[g,k]=constraint(x_m);if all(g<=0) % 等式约束难以满足,此处相差不大即可算近似if all(abs(k)<=1)ff=fun2(x_m); %目标函数if ff<p0x_m0=x_m;p0=ff;endendend
end
x_m0,p0,toc
disp("以蒙特卡罗求得近似值作为初始值的线性规划结果")
[x3,fval3]=fmincon(@fun2,x_m0,A2,B2,Aeq2,beq2,vlb2)

输出:

x_m0 =列 1 至 40                         0                         0                         5列 5 至 83                         9                         2                         4列 9 至 123                         1                         2                         1列 13 至 166.85179793730359          7.45156987818458          5.78450172159294          4.84001343131759p0 =87.3564817958772历时 2.518048 秒。
以蒙特卡罗求得近似值作为初始值的线性规划结果可能存在局部最小值。满足约束。fmincon 已停止,因为当前步长小于
步长容差值并且在约束容差值范围内满足约束。<停止条件详细信息>x3 =列 1 至 40.0267009295509488          4.82102444621973        0.0235678116431545         0.426803450498299列 5 至 80.0304197766741595           10.979350696337          2.97329907044905         0.178975553780268列 9 至 123.97643218835685           6.5731965495017          5.96958022332584         0.020649303662989列 13 至 167.2500000010943          7.74999998555883          3.22063993810178          5.66691666664995fval3 =85.9490103544715

http://www.ppmy.cn/devtools/110968.html

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【更多软件使用问题请点击亿道电子官方网站】 文档目标&#xff1a;解决在开发过程中对于开发项目所使用的的芯片的参数查看的问题 问题场景&#xff1a;在项目开发过程中&#xff0c;经常需要对于芯片的时钟、寄存器或者一些硬件参数需要进行确认。大多数情况下是需要外部查找…

12、xinference部署与自定义模型

1、环境创建 创建虚拟环境 conda create --name xinference python3.10.9激活虚拟环境 conda activate xinference2、安装文件 官网&#xff1a;https://inference.readthedocs.io/zh-cn/latest/getting_started/installation.html pip install "xinference[transfor…

什么是站点内部搜索垃圾邮件攻击以及如何防范

过去一年中&#xff0c;我们发现很多WordPress网站遭遇了大规模的SEO垃圾邮件攻击&#xff0c;这些攻击主要针对网站内部的搜索功能。虽然这些攻击对SEO本身的影响不大&#xff0c;但却浪费了大量的时间和资源。 虽然大部分网站可能不需要担心这个问题&#xff0c;但如果你的网…

Linux中限制服务如mysql的最大cpu使用率

1、cpu占用测试&#xff1a; DELIMITER // DROP PROCEDURE IF EXISTS intensive_calculations; CREATE PROCEDURE intensive_calculations() BEGINDECLARE v INT DEFAULT 0;DECLARE i INT DEFAULT 0;WHILE i < 1000000 DOSET v SQRT(i * i (RAND() * 10000));SET i i 1…

Gradle和Maven

Gradle 和 Maven 都是 Java 生态中常用的构建工具&#xff0c;用于管理项目的编译、测试、依赖管理和打包等任务。两者在很多方面有相似之处&#xff0c;但也有显著的不同&#xff0c;选择使用哪个工具通常取决于项目的具体需求和团队的偏好。 Gradle 与 Maven 的比较 特性Gr…

基于SSM的二手物品交易管理系统的设计与实现 (含源码+sql+视频导入教程+文档+PPT)

&#x1f449;文末查看项目功能视频演示获取源码sql脚本视频导入教程视频 1 、功能描述 基于SSM的二手物品交易管理系统7拥有两种角色 管理员&#xff1a;用户管理、分类管理、商品管理、订单管理、系统管理等 用户&#xff1a;登录注册、充值、收货、评价、收藏、购物车、订…

Leetcode面试经典150题-162.寻找峰值

解法都在代码里&#xff0c;不懂就留言或者私信 想清楚的话会特别简单&#xff0c;你可能想不到这是个二分。。。 class Solution {/**本题题目规定我们只能用O(logN)的时间复杂度来解题&#xff0c;这显然就是让二分嘛而题目给的数组本身是无需&#xff0c;怎么二分呢其实我…

PHP-SER-libs靶场通关(1-9)

一.第一关&#xff08;基础序列化&#xff09; <?php highlight_file(__FILE__); class a{var $act;function action(){eval($this->act);} } $aunserialize($_GET[flag]); $a->action(); ?> 一个很基础的反序列过程 对输入的flag进行反序列化&#xff0c;再…

OpenCV结构分析与形状描述符(9)检测轮廓相对于其凸包的凹陷缺陷函数convexityDefects()的使用

操作系统&#xff1a;ubuntu22.04 OpenCV版本&#xff1a;OpenCV4.9 IDE:Visual Studio Code 编程语言&#xff1a;C11 算法描述 查找一个轮廓的凸性缺陷。 下图显示了一个手部轮廓的凸性缺陷&#xff1a; convexityDefects 是 OpenCV 库中的一个函数&#xff0c;用于检测轮…

本地部署Llama 3.1大模型

Meta推出的Llama 3.1系列包括80亿、700亿、4050亿参数版本&#xff0c;上下文长度扩展至12.8万tokens&#xff0c;并增加了对八种语言的支持。 部署模型需要用到Ollama的一个工具&#xff0c;访问官方网站https://ollama.com 点击下载&#xff0c;选择下载你对应的操作系统下…

The Linux Command Line中文版阅读——1-3章

文章目录 参考资料第一章&#xff1a;引言1.1 为什么使用命令行1.2 这本书讲什么1.4 这本书的内容 第二章&#xff1a;什么是shell2.1 终端仿真器2.2 第一次按键2.3 命令历史2.4 移动光标2.5 关于鼠标和光标2.6 试试运行一些简单命令2.7 结束终端会话 第三章&#xff1a;文件系…

百度视频排名代发(百度视频秒收录代发)

百度视频排名代发(百度视频秒收录代发) 代做灰色关键词百度排名&#xff08;代发百度灰色词外推&#xff09;#百度推广#关键词排名#灰色词排名 推荐阅读&#xff1a; 百家号图文排名代发&#xff1a;文章客服系统挂载电话https://www.bsw80.com/post/471.html 很多老板表示想…

聚观早报 | 2025款比亚迪汉上市;iPhone 16天猫全球同步首发

聚观早报每日整理最值得关注的行业重点事件&#xff0c;帮助大家及时了解最新行业动态&#xff0c;每日读报&#xff0c;就读聚观365资讯简报。 整理丨Cutie 9月11日消息 2025款比亚迪汉上市 iPhone 16天猫全球同步首发 菜鸟L4级无人车正式发售 OPPO Find X8配置细节曝光…

代码随想录训练营 Day57打卡 图论part07 53. 寻宝(prim,kruskal算法)

代码随想录训练营 Day57打卡 图论part07 卡码53. 寻宝 题目描述 在世界的某个区域&#xff0c;有一些分散的神秘岛屿&#xff0c;每个岛屿上都有一种珍稀的资源或者宝藏。国王打算在这些岛屿上建公路&#xff0c;方便运输。 不同岛屿之间&#xff0c;路途距离不同&#xff0c;…

iPhone的安全模式如何操作

iPhone安全模式的进入方法 简介 iPhone的安全模式是一个特殊的系统状态&#xff0c;主要用于在设备出现问题时进行故障排除。在此模式下&#xff0c;第三方应用程序和服务通常会被禁用&#xff0c;只允许系统自带的应用运行&#xff0c;从而帮助用户定位和解决问题。以下是详…

移动跨平台框架Flutter详细介绍和学习线路分享

Flutter是一款移动应用程序SDK&#xff0c;一份代码可以同时生成iOS和Android两个高性能、高保真的应用程序。 Flutter目标是使开发人员能够交付在不同平台上都感觉自然流畅的高性能应用程序。我们兼容滚动行为、排版、图标等方面的差异。 在全世界&#xff0c;Flutter正在被越…

保姆级离线+windows环境+大模型前端UI安装(二)

看到很多文章采用docker在windows环境安装python或者是linux环境再装webui的&#xff0c;感觉比较麻烦&#xff0c;不够简洁&#xff0c;本文采用nodejs&#xff0c;来作为客户端引擎。 这篇只讲客户端安装&#xff0c;需要安装后端大模型及其运行的可以参考第一篇&#xff1a…

基于SpringBoot的在线购物平台

作者&#xff1a;计算机学姐 开发技术&#xff1a;SpringBoot、SSM、Vue、MySQL、JSP、ElementUI等&#xff0c;“文末源码”。 专栏推荐&#xff1a;前后端分离项目源码、SpringBoot项目源码、SSM项目源码 系统展示 【2025最新】基于JavaSpringBootVueMySQL的在线购物平台&am…

linux入门到实操-1 Linux概述、诞生过程、发行版本,如何安装?

教程来源&#xff1a;B站视频BV1WY4y1H7d3 3天搞定Linux&#xff0c;1天搞定Shell&#xff0c;清华学神带你通关_哔哩哔哩_bilibili 整理汇总的课程内容笔记和课程资料&#xff0c;供大家学习交流下载&#xff1a;夸克网盘分享 本文内容为完整笔记的入门篇 概述部分历史内容…