manim动画：利用极限的定义证明极限。

函数的证明

用极限的定义来证明下面的极限。

$\mathop {\lim }\<a class=$ limits_{x \to 4} {x^2} + x - 11 = 9" class="mathcode" src="https://latex.csdn.net/eq?%5Cmathop%20%7B%5Clim%20%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%204%7D%20%7Bx%5E2%7D%20+%20x%20-%2011%20%3D%209" />

要用极限的定义证明 $\mathop {\lim }\<a class=$ limits_{x \to 4} {x^2} + x - 11 = 9" class="mathcode" src="https://latex.csdn.net/eq?%5Cmathop%20%7B%5Clim%20%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%204%7D%20%7Bx%5E2%7D%20+%20x%20-%2011%20%3D%209" />，我们可以使用极限的定义：

设f(x)在包含a的开区间中对所有x≠a有定义，设L为实数。然后

$\displaystyle{\lim_{x\to{a}}}f\,(x)=L$

如果，任意一个 $\epsilon\,>\,0$ ，存在一个 $\delta\,>\,0$ ，以至于如果 $0\,<\,|x-a|\,<\delta$ 对于所有x在f的定义域内,然后

$\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon \hspace{0.5in}{\mbox{whenever}}\hspace{0.5in}0 < \left| {x - a} \right| < \delta$

用定义我们得到： $f(x)=x^{2}+x-11$ , $L=9$ 同时 $a=4$

要用极限的定义证明 $\lim_{x \to 4} (x^2 + x - 11) = 9$ ，我们可以使用极限的定义：对任意的 $\epsilon > 0$ ，存在 $\delta > 0$ ，使得当 $0 < |x - 4| < \delta$ 时，有 $|f(x) - L| < \epsilon$ ，其中 $f(x) = x^2 + x - 11$ 和 $L = 9$ 。

证明步骤如下：

1. 计算 $f(4)$

$f(4) = 4^2 + 4 - 11 = 16 + 4 - 11 = 9$

2. 设 $|f(x) - 9| < \epsilon$ : 我们需要证明，当 x 足够接近 4 时， $|(x^2 + x - 11) - 9| < \epsilon$ 。

这可以简化为： $|x^2 + x - 20| < \epsilon$

因为 $x^2 + x - 11 - 9 = x^2 + x - 20$ 。

3. 因此，我们需要分析：
$|x^2 + x - 20|$
进行分解， $x^2 + x - 20 = (x - 4)(x + 5)$ 。

所以我们需要找到 $\delta$ 使得当 $|x - 4| < \delta$ 时，
$|(x - 4)(x + 5)| < \epsilon$

4. 为了简化分析，我们假设 x 接近 4，假设 $|x - 4| < 1$ ，则 $3 < x < 5$ 。

因此，x + 5 的范围为：
$3 + 5 < x + 5 < 5 + 5 \Rightarrow 8 < x + 5 < 10$
这意味着 $|x + 5| < 10$ 。

5. 因此，我们有：
$|(x - 4)(x + 5)| < |x - 4| \cdot |x + 5| <\frac{|x - 4|}{10}$

6. 因此，可以选择 $|x - 4| < \frac{\epsilon}{10}$ ，于是 $|(x - 4)(x + 5)| < \epsilon$ 。

7. 最终，我们可以设定 $\delta = \min(1, \frac{\epsilon}{10})$ 。

综上所述，对于任意的 $\epsilon > 0$ ，我们可以找到 $\delta$ 使得当 $0 < |x - 4| < \delta$ 时，有 $|x^2 + x - 11 - 9| < \epsilon$ ，因此证明了：
$\lim_{x \to 4} (x^2 + x - 11) = 9$

用manim代码，播放计算结果：

python">from manim import *  class LimitProofEx88(Scene):  def construct(self):  # 创建标题和极限表达式  title = MarkupText("证明极限:").scale(0.9)  t1 = MathTex(r"\lim_{x \to 4} (x^2 + x - 11) = 9").scale(0.9)  tt = VGroup(title, t1).arrange(RIGHT)  tt.to_edge(UP)tt.shift(LEFT*2)self.add(tt)# 创建步骤和方程  elements = []  # Step 1  step1 = MarkupText("1. 计算:")  equation1 = MathTex(r"f(4) = 4^2 + 4 - 11 = 9")  elements.append(step1)  elements.append(equation1)  # Step 2  step2 = MarkupText("2. 设 ")  step2_equation = MathTex(r"|f(x) - 9| < \epsilon:")  equation2 = MathTex(r"|x^2 + x - 20| < \epsilon")  elements.append(step2)  elements.append(step2_equation)  elements.append(equation2)  # Step 3  step3 = MarkupText("3. 分解: ")  step3_equation = MathTex(r"x^2 + x - 20 = (x - 4)(x + 5)")  elements.append(step3)  elements.append(step3_equation)  # Step 4  step4 = MarkupText("4. 假设 ")  step4_equation = MathTex(r"|x - 4| < 1: 3 < x < 5 : 8 < x + 5 < 10")  elements.append(step4)  elements.append(step4_equation)  # Step 5  step5 = MarkupText("5. 由此得: ")  step5_equation = MathTex(r"| (x - 4)(x + 5) | < |x - 4| \cdot 10")  elements.append(step5)  elements.append(step5_equation)  # Step 6  step6 = MarkupText("6. 选择: ")  step6_equation = MathTex(r"|x - 4| < \frac{\epsilon}{10}")  elements.append(step6)  elements.append(step6_equation)  # Step 7  step7 = MarkupText("7. 设定: ")  step7_equation = MathTex(r"\delta = \min\left(1, \frac{\epsilon}{10}\right)")  elements.append(step7)  elements.append(step7_equation)  # Conclusion  conclusion_text = MarkupText("因此: ").scale(1.2)  conclusion_equation = MathTex(r"\lim_{x \to 4} (x^2 + x - 11) = 9")  elements.append(conclusion_text)  elements.append(conclusion_equation)  # 创建函数图像  axes = Axes(x_range=[0,6], y_range=[3, 12], axis_config={"color": BLUE}).add_coordinates() graph = axes.plot(lambda x: x**2 + x - 11, color=YELLOW)  graph_label = axes.get_graph_label(graph, label='f(x) = x^2 + x - 11') self.add(Dot(axes.c2p(4,9),radius=0.25,color=RED))# 显示页面内容  for i in range(0, len(elements), 7):  # 添加坐标系和图像  self.play(Create(axes), Create(graph), Write(graph_label))  # 逐行添加说明内容，同时翻页  for element in elements[i:i + 7]:  self.play(Write(element))self.play(FadeOut(element))self.wait(1)  # 翻页时清除页面  self.play(FadeOut(*elements[i:i + 7]))  self.wait(0.5)  # 等待一段时间后再显示下一页  # 最后显示结论  self.play(Write(conclusion_text), Write(conclusion_equation))  self.wait(2)  # 清除所有元素  self.play(FadeOut(*self.mobjects))%manim -qm -v WARNING LimitProofEx88

解释代码：

标题和极限表达式创建：
```
title = MarkupText("证明极限:").scale(0.9) 
t1 = MathTex(r"\lim_{x \to 4} (x^2 + x - 11) = 9").scale(0.9) 
tt = VGroup(title, t1).arrange(RIGHT) 
tt.to_edge(UP) 
tt.shift(LEFT * 2) self.add(tt) 
```
- MarkupText 用于创建带有格式的中文文本。
- MathTex 用于创建数学公式。
- VGroup 把两个元素组合在一起并以右对齐的方式排列。
- 将组合移动到顶部，并略微向左偏移。
- 最后把 tt 添加到场景中。
创建步骤和方程：
```
elements = [] 
```
初始化一个空列表，用于存储将要展示的步骤和方程。

接下来逐步创建每个步骤：
- ```
# Step 1 
step1 = MarkupText("1. 计算:") 
equation1 = MathTex(r"f(4) = 4^2 + 4 - 11 = 9") 
elements.append(step1) 
elements.append(equation1) 
```
- 重复以上过程为每个步骤创建内容，包括假设、计算等，且每个元素添加至elements列表。

创建结论：

conclusion_text = MarkupText("因此: ").scale(1.2) 
conclusion_equation = MathTex(r"\lim_{x \to 4} (x^2 + x - 11) = 9") 
elements.append(conclusion_text) 
elements.append(conclusion_equation)

这里创建了总结部分，即用文字和数学公式表明计算最后的结论。

创建函数图像：
```
axes = Axes(x_range=[0, 6], y_range=[3, 12], axis_config={"color": BLUE}).add_coordinates() 
graph = axes.plot(lambda x: x**2 + x - 11, color=YELLOW) 
graph_label = axes.get_graph_label(graph, label='f(x) = x^2 + x - 11') 
self.add(Dot(axes.c2p(4, 9), radius=0.25, color=RED)) 
```
- Axes 创建坐标系，x_range 和 y_range 分别定义x轴和y轴的显示范围。
- 使用 lambda 定义函数 f(x) = x^2 + x - 11来绘制图像。
- add_coordinates() 在坐标系中添加坐标标记。
- 添加图形的标签。
- 在位置 (4, 9) 上添加一个红色的点，标记极限点。
显示内容：
```
for i in range(0, len(elements), 7): 
```
这个循环用于分页显示元素，每页最多显示7个元素。
- 添加坐标系和图像：
```
self.play(Create(axes), Create(graph), Write(graph_label)) 
```
- 逐行添加步骤内容：
```
for element in elements[i:i + 7]: self.play(Write(element)) self.play(FadeOut(element)) self.wait(1) 
```
  逐个写出每个步骤内容，每次写出后立即淡出下一步内容，并在每步之间等待1秒。
- 翻页效果：
```
self.play(FadeOut(*elements[i:i + 7])) 
self.wait(0.5) # 等待一段时间后再显示下一页 
```
  每次展示后清除上一页的内容，保持页面整洁。
最后显示结论：
```
self.play(Write(conclusion_text), Write(conclusion_equation)) 
self.wait(2) 
```
在所有步骤结束后，展示结论的内容，并等待2秒以便观众可以阅读。
清除所有元素：
```
self.play(FadeOut(*self.mobjects)) 
```