三维空间中的线性系统

到目前为止，我们已经研究了具有两个相关变量的线性系统。对于这些系统，解的行为和相位平面的性质可以通过计算 $2\times 2$ 系数矩阵的特征值和特征向量来确定。一旦我们找到两个具有线性独立初始条件的解，我们就可以给出通解。

在本节中，我们将展示三维线性系统的情况也是如此。$3\times 3$ 系数矩阵的特征值和特征向量决定了解的行为和通解。三维线性系统有三个特征值，因此可能的定性不同的相位空间的列表比平面系统要长。由于我们必须处理三个标量方程而不是两个，计算可能会变得更加复杂。你可能需要寻找能够处理 $3\times 3$ 矩阵的软件或计算器。

线性独立性和线性原理

具有三个相关变量的线性系统的通式为：

$$\frac{dx}{dt}=a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z$$

$$\frac{dy}{dt}=a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z$$

$$\frac{dz}{dt}=a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z$$

其中 $x$、$y$ 和 $z$ 是相关因变量，而系数 $a_{ij}$（$i,j=1,2,3$）是常数。我们可以将此系统写成矩阵形式：

$$\frac{dY}{dt}=AY,$$

其中 $A$ 是系数矩阵：

$$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right).$$
和 $Y$ 是依赖变量的向量，
$$Y=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right).$$
要为这样一个系统指定初始条件，我们必须给出三个数值 $x_0$、$y_0$ 和 $z_0$。

线性原则在所有维度的线性系统中都适用，因此如果 $Y_1(t)$ 和 $Y_2(t)$ 是解，则 $k_1{Y}_1(t)+k_2{Y}_2(t)$ 也是解，其中 $k_1$ 和 $k_2$ 是任意常数。

假设 $Y_1(t)$、$Y_2(t)$ 和 $Y_3(t)$ 是线性系统
$$\frac{dY}{dt}=AY$$
的三个解。如果对于任意点 $(x_0,y_0,z_0)$ 存在常数 $k_1$、$k_2$ 和 $k_3$，使得
$$k_1{Y}_1(0)+k_2{Y}_2(0)+k_3{Y}_3(0)=(x_0,y_0,z_0),$$
那么系统的一般解是
$$Y(t)=k_1{Y}_1(t)+k_2{Y}_2(t)+k_3{Y}_3(t).$$

为了使得三个解 $Y_1(t)$、$Y_2(t)$ 和 $Y_3(t)$ 能够给出一般解，这三个向量 $Y_1(0)$、$Y_2(0)$ 和 $Y_3(0)$ 必须指向“不同的方向”；也就是说，它们中的任何一个都不能在其他两个通过原点的平面上。在这种情况下，这些向量 $Y_1(0)$、$Y_2(0)$ 和 $Y_3(0)$（以及相应的解）被称为线性无关。我们在练习中提供了检查线性无关的代数技术（见练习 2 和 3）。

示例

考虑线性系统
$$\frac{dY}{dt}=AY=\left(\begin{array}{ccc}0& 0.1& 0\\ 0& 0& 0.2\\ 0.4& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right).$$
我们可以检查函数
$$Y_1(t)=e^{0.2t}\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$$
$$Y_2(t)=e^{-0.1t}(\begin{array}{c}-\cos (\sqrt{0.03}t)-\end{array}$$